1.1.2集合间的基本关系课件新人教A版必修B

1．1.2集合间的基本关系姚老师数学课堂学习目标特别关注1．理解集合之间包含与相等的含义．2．能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系．3．在具体情境中，了解空集的含义．1．集合间关系的判断．(难点)2．本节内容常与函数、不等式相结合．3．符号“∈和⊆”、“a和{a}”、“{0}和∅”的区别．(易混点)用适当的符号(∈，∉)填空：(1)1____{x|x2－3x＋2＝0}；(2)0____N；(3)a____{a，b，c，d}；(4)2____{x|x2－2＝0}；(5)3____{x|x≤2}；(6){1}____{{1},2,3}答案：(1)∈(2)∈(3)∈(4)∉(5)∉(6)∈.概念定义符号表示图形表示子集如果集合A中_________元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有____关系，称集合A为集合B的子集.AB(或BA)1．子集、真子集、集合相等的概念任意一个包含⊆⊇真子集如果集合A⊆B，但存在元素____________，则称集合A是集合B的真子集.AB(或BA)集合相等如果___________，那么就说集合A与集合B相等.ABx∈B，且x∉AA⊆B且B⊆A=2.空集(1)定义：_____________的集合，叫做空集．(2)用符号表示为：___.(3)规定：空集是任何集合的_____．不含任何元素∅子集3．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的______，即_____.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么_____.子集A⊆AA⊆C1．已知集合A＝{x|－1x2}，B＝{x|0x1}，则()A．ABB．ABC．BAD．A⊆B答案：C2．下列四个集合中，是空集的是()A．{x|x＋3＝3}B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0}D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}解析：选项A所代表的集合是{0}并非空集；选项B中的属性x2＋y2＝0⇒x＝0，且y＝0，选项B所代表的集合是{(0,0)}并非空集；选项C中属性x2≤0，而x2≥0，即得x2＝0⇒x＝0，选项C所代表的集合是{0}并非空集，选项D中的方程x2－x＋1＝0的Δ＝1－4＝－3＜0，即无实数根．答案：D3．下列各式正确的是________．(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)∅{0}；(4)0⊆{0}；(5){1}{x|x≤5}；(6){1,3}{3,4}．题号正误原因(1)√任何一个集合都是它本身的子集．(2)√两集合中的元素是一样的，符合集合相等的定义．(3)√空集是任何非空集合的真子集．解析：(4)×元素0是集合{0}中的一个元素，故应为0∈{0}．(5)√∵1＜5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x＜5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x＜5}．(6)×∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}⃘{3,4}．“”是“真包含于”的意思.答案：(1)(2)(3)(5)4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．解析：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.集合间关系的判断已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，试判断M与P的关系．先把两集合中元素变成统一的表达式，然后再判断.[解题过程]方法一：(1)对于任意x∈M，则x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈P，由子集定义知M⊆P.(2)∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N＋，而1∉M，因1＋a2＝1在a∈N＋时无解．综合(1)、(2)知，MP.方法二：取a＝1,2,3,4，…，可得M＝{2,5,10,17，…}，P＝{2,1,5,10,17，…}．∴MP.[题后感悟]要判断两个集合之间的关系，主要看两个集合元素之间的关系，本例中集合M中的任一元素x＝1＋a2都可以写成集合P中的元素所具有的形式(a＋2)2－4(a＋2)＋5，从而证明M⊆P，但要说明集合M是P的真子集，还必须在P中找到一个不在M中的元素．1.已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈R}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，试判断M与P的关系．解析：∵a∈R，∴x＝1＋a2≥1，x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1.∴M＝{x|x≥1}，P＝{x|x≥1}．∴M＝P.子集、真子集的概念及应用写出满足{a，b}A⊆{a，b，c，d}的所有集合A.解答本题可根据子集、真子集的概念求解.[解题过程]由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个．故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}．[题后感悟](1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键．(2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多少，以一定顺序来写避免发生重复和遗漏现象．(3)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集，记住这个结论可以提高解答速度，其中要注意∅和集合本身易漏掉．2.本例中条件改为{a，b}⊆A{a，b，c，d}，求满足条件的所有集合A.解析：由题意知{a，b}是A的子集，A中至少有两个元素a，b，又A是{a，b，c，d}的真子集，则A中含有c，d两个元素中的一个．故满足条件的集合有{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}．集合相等问题已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．[策略点睛]欲求c的值需建立关于c的方程，而集合B中的元素含有c，集合B中的元素满足互异性，只能建立不等关系(可求c的范围)，不能建立方程．而条件中还有A＝B，根据集合相等则元素相同，可建立方程，进而求c.[规范作答]∵B＝{a，ac，ac2}，又∵集合中的元素满足互异性，∴a≠ac，a≠ac2，ac≠ac2.故c≠0，且c≠±1，且a≠0.2分∵A＝B，∴(1)a＋b＝aca＋2b＝ac2或(2)a＋b＝ac2a＋2b＝ac4分由(1)，得a＝0或c＝1.∵c≠±1，且a≠0，∴(1)无解.6分由(2)得c＝－12或c＝1，8分c＝1不满足要求，c＝－12适合.10分∴c＝－12.12分[题后感悟]如何根据集合相等求参数值？①根据含参集合中元素的互异性确定参数的范围；②根据集合相等，即元素完全相同，列出关于参数的方程(组)；③解方程(组)；④结合①③，确定参数的值．[注意]如果每个集合中未知量只有一个，也可以考虑根据两个集合中元素的和与积分别相等列出方程组求解．例如，若{1，x，x＋1}＝{2，y，y＋1}，则1＋x＋x＋1＝2＋y＋y＋11·x·x＋1＝2·y·y＋1进而求x，y.3.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值．解析：∵A＝B，∴x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足互异性，舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝1或x＝0(舍去)，此时A＝{1,0}＝B，满足条件．综上可知x＝1，y＝0.集合间关系的应用已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．[解题过程]∵B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠∅时，有－3≤2m－1m＋1≤42m－1＜m＋1，解得－1≤m＜2，综上得m≥－1.[题后感悟](1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为是非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．4.已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解析：当B＝∅时，只需2a＞a＋3，即a＞3；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得a＋3≥2aa＋3＜－1或a＋3≥2a2a＞4，解得a＜－4或2＜a≤3.综上可得，实数a的取值范围为a＜－4或a＞2.5．已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解析：A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，∵B⊆A，∴B＝∅或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．(1)当B＝∅时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2＝0无实根，则Δ＜0，即4(a＋1)2－4(a2－1)＜0.∴a＜－1.(2)当B＝{0}时，有Δ＝0a2－1＝0∴a＝－1.(3)当B＝{－4}时，有Δ＝0a2－8a＋7＝0无解．(4)当B＝{0，－4}时，由韦达定理得a＝1.综上所述，a＝1或a≤－1.1．子集、空集的概念的理解(1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合B的“部分元素”所组成的集合．如A＝∅，则集合A不含B中的任何元素．(2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}，B＝{b，c}．2．∈与⊆、a与{a}、{0}与∅的区别(1)∈与⊆的区别：∈表示元素与集合之间的关系，因此，有∈Q，∉Q等；⊆表示集合与集合之间的关系，因此，有Q⊆R，∅⊆R等．(2)a与{a}的区别：一般地，a表示一个对象，而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集)，a是集合{a}的一个元素．因此有2∈{2}，不能写成2＝{2}．(3){0}与∅的区别：{0}是含有一个元素的集合，∅是不含任何元素的集合．因此，有∅⊆{0}，不能写成∅＝{0}，∅∈{0}．3．两集合相等的证明若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；若A、B是无限集时，欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A都成立即可．◎若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求m的值．【错解】A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵BA，∴mx＋1＝0的解为－3或2.当mx＋1＝0的解为－3时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝13；当mx＋1＝0的解为2时，由m·2＋1＝0得m＝－12.综上所述，m＝13或m＝－12.【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．原因是考虑不全面，由集合B的含义及BA，忽略了集合为∅的可能，而漏掉解．因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现∅的可能．【正解】A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵BA，∴当B＝∅时，m＝0适合题意．当B≠∅时，方程mx＋1＝0的解为x＝－1m，则－1m＝－3或－1m＝2，∴m＝13或m＝－12.综上可知，所求m的值为0或13或－12