2019届中考数学总复习知识点聚焦：第4章 整式的乘除

第四章整式的乘除高频考点考查频率所占分值1．幂的有关运算★★2．整式的乘法★3．乘法公式(平方差公式、完全平方公式)★★★4．整式的除法★3～9分5．因式分解★★★6．整式的混合运算★★知能图谱同底数幂的乘法字母表示：mnmnaaa(m，n都是正整数)幂的乘方字母表示：nmmnaa(m，n都是正整数)积的乘方字母表示：nnnabab(n是正整数)同底数幂的除法字母表示：mnmnaaa(0a，m，n都是正整数，并且mn)零指数幂字母表示：010aa负整数指数幂字母表示：1ppaa(0a，p为正整数)单项式乘单项式：单项式与单项式相系，把它们的系数、同底数幂别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为的一个因式单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每—项，再把所得的积相加平方差公式：22ababab2222abaabb2222abaabb联系24ababab单项式除以单项式转化多项式除以单项式幂的运算乘法公式多项式乘多项式整式的乘法完全平方公式整式的除法整式的混合运算整式的乘除因式分解的意义因式分解的方法提公因式法公式法逆用平方差公式22ababab逆用完全平方公式2222aabbab分组分解法(拓展)因式分解的步骤一般步骤：一提、二套、三分组、四彻底利用因式分解解决相关问题第7讲幂的运算性质知识能力解读知能解读(一)同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即mnmnaaa(m，n都是正整数)．注意：(1)在学习同底数幂的乘法过程中，不仅要记住结论?更重要的是掌握结论的推导过程．(2)这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，如mnpmnpaaaa(m，n，p都是正整数)．(3)运算性质可以逆用，如mnmnaaa(m，n都是正整数)．(4)幂的底数a可以是单项式，也可以是多项式，如2123aaaa，325xyyxxy．(5)当幂指数为l时，不要误以为指数为0，如34aaa，而不是33aaa．(二)幂的乘方幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nmmnaa(m，n都是正整数)．注意：(1)不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．(2)根据同底数幂的运算性质可推出结论：nmmmmmnmmmmmnaaaaaaaL个个(3)此性质可以逆用：nmmnmnaaa，如351553333．(三)积的乘方积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即nnnabab(n是正整数)．注意：(1)同理，三个或三个以上的因数(或因式)的积的乘方，也具备这一性质，如nnnnabcabc(n为正整数)．(2)此性质可以逆用：nnnabab，如22299448144．(3)积的乘方公式中，a，b可以表示数，也可以表示含有字母的代数式．(四)同底数幂的除法同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnmnaaa(0a，m，n都是正整数，并月mn)．注意：(1)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，如mnpmnpaaaa(0a，m，n，p都是正整数，且mnp)．整式乘法因式分解(2)底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了．(3)注意指数为“1”的情况，如3312aaaa，不能把a的指数当成“0”．(4)该法则可以逆用，即mnmnaaa(0a，m，n都是正整数，且mn)．(五)零指数幂与负整数指数幂(1)零指数幂的意义：任何不等于零的数的零次幂都等于1，即010aa．(2)负整数指数幂的意义：任何不等于零的数的n(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即1nnaa(0a，n为正整数)．在mnmnaaa中，当mn时，规定010mnaaaa．当mn时，规定1nmmnnmaaaa，如37374411010101010．(3)零指数幂与负整数指数幂的注意事项：①在01a中，底数a不等于零，否则无意义．底数a可以是不等于0的数或式子．②学习零指数幂和负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质推广到了整数指数幂．如：232311aaaaa；222abab；4312aa；34347aaaa等．方法技巧归纳方法技巧(一)同底数幂的乘法、除法运算解题技巧同底数幂的运算法则，无论是乘法法则，还是除法法则，只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化为同底，若不能化为同底，则不能用上述法则．(二)幂的乘方、积的乘方运算解题技巧运用幂的乘方时，一定要注意底数的符号；在进行积的乘方运算时，应把底数的各因式分别乘方，不要忽略任何一项．幂的乘方和积的乘方法则均可逆用．(三)零指数幂和负整数指数幂的解题技巧(四)利用幂的运算性质比较数的大小的解题技巧(拓展)当所给幂的指数、底数均不相同，且指数较大时，可利用幂的乘方性质化为同指数幂，根据底数大小关系确定原来三个幂的大小关系．比较几个幂的大小时，可以将它们逆用幂的乘方法则，化成同底数或同指数的幂再比较大小．易混易错辨析易混易错知识1．同底数幂的乘法法则与合并同类项法则容易混淆．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，如3333339aaaaa；而合并同类项的法则是只把系数相加，字母和字母的指数都不变，如333331113aaaaa．此处易犯3333339aaaaa的错误．故解题时，应认真审题，看清题目是什么运算，然后准确选用法则．2．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则容易混淆．幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)，同底数幂的乘法运算是转化为指数的加法运算(底数不变)．在运算时，特别注意二者的区别，如324xx的运算顺序为先乘方，再乘法，不要出现类似32235xxx的错误．易混易错(一)在运用积的乘方法则时，没有把每个因式分别乘方，忽略某些因式的乘方，或符号山错(二)对同底数幂的除法法则理解不透导致出错(三)忽略零指数幂和负整数指数幂底数不为0的条件中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要有同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方运算以及零指数幂和负整数指数幂的运算，题型以选择题、填空题为主，也有简单的解答题．中考试题(一)同底数幂的乘法(二)幂的乘方和积的乘方(三)零指数幂和负整数指数幂(四)幂的综合运算第8讲整式的乘法知识能力解读知能解读(一)单项式与单项式相乘的法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．如：322322432535315xyxyzxxyyzxyz．注意：(1)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用．(2)由法则可知，在用法则解题时，可按三步进行：①系数相乘——确定积的系数，相乘时注意符号；②相同字母的幂相乘——底数不变，指数相加；③只在一个单项式里含有的字母——连同字母的指数写在积中，不要漏掉这个因式．记忆口诀：系数乘系数，字母乘字母．(二)单项式与多项式相乘的法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mabcmambmc．注意：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．(2)单项式乘多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．(3)计算时注意符号，多项式中的每一项都包括它前面的符号，根据这一特点确定乘积中每一项的符号．(4)运算结果中有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果．(三)多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．(1)要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，不要漏乘项．(2)注意多项式中的符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，计算时要细心．(四)乘法公式1．平方差公式(1)公式：22ababab．(2)意义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫作平方差公式．记忆口诀：和乘差，平方差．(3)特征：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是左边二项式中两项的平方差(相同项的平方减相反项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式．(4)公式的几何背景：如图所示，最上层的矩形ABCD的面积为abab，它等于大正方形AGHE的面积2a与小正方形MNHF的面积2b的差，即22ababab．2．完全平方公式(1)公式：2222abaabb；2222abaabb．(2)意义：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍．(3)特征：①左边是—个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简记为“首平方2a，尾平方2b，积的2倍2ab在中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．(4)公式的几何背景：如图所示，用图形面积表示图①的几何意义为222222abaababbaabb，表示图②的几何意义为2222222ababababaabbabaabb．(五)特殊乘法公式(拓展)2xaxbxabxab(a，b是常数)．(利用多项式乘法运算法则可从左边得到右边)公式特征：(1)相乘的两个因式都只含有一个相同的字母．都是一次二项式，并且一次项的系数为1．(2)乘积是二次三项式，二次项系数是1，一次项系数是两常数项之和，常数项等于两个因式中的常数项之积．方法技巧归纳方法技巧(一)单项式与单项式相乘的解题方法单项式与单项式相乘的顺序是：(1)系数相乘；(2)同底数的幂相乘；(3)只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起写在积中．故正确进行幂的运算是解题的关键；要先确定符号，再计算．(二)单项式与多项式相乘的解题方法单项式与多项式相乘，实质是利用乘法的分配律，计算时注意运算顺序，不要漏项．(三)多项式与多项式相乘的解题方法多项式乘多项式，其主要方法是分项轮乘，依次转化为单项式乘单项式，不要漏乘项．(四)整式乘法的综合创新题整式乘法的综合创新题主要考查整式乘法法则的运用能力，一般是由特殊情况推测一般规律，培养创新能力．(五)利用乘法公式计算的解题技巧乘法公式是一种特殊形式的乘法法则，它通过多项式的乘法法则，把特殊多项式的运算结果写成公式形式并加以应用．运用公式计算可使多项式相乘变得方便简捷，但运用时要掌握公式的结构特征，只要符合公式结构特征就可以运用公式进行计算，否则不能用．公式中的字母可以是具体数，也可以是含有字母的代数式．1．直接应用公式计算2．开放探究题3．乘法公式巧变形(六)整式的混合运算整式的混合运算一般应注意以下几点：(1)将多项式的运算转化为单项式的运算；(2)确定符号；(3)确定运算顺序与运算类型；(4)尽量运用乘法公式简化多项式的乘法运算．1．混合运算2．化简求值易混易错辨析易混易错知识1．在整式乘法法则的运用上易出错．错误有：(1)漏乘多项式的某些项；(2)单项式与多项式