【创新设计】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第2讲 函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值考试要求1.函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，B级要求；2.运用函数图象研究函数的单调性，B级要求.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时,都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的下降的(2)函数单调性的两种等价形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①f（x1）－f（x2）x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；f（x1）－f（x2）x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数.②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数.(3)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做函数y＝f(x)的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有；(4)存在x0∈I，使得结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝M诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1x在定义域上为减函数.()(2)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数.()(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()(4)函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数.()(5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.()××√√√2.下列函数：①y＝e－x；②y＝x3；③y＝lnx；④y＝|x|.其中定义域是R且为增函数的是________(填序号).解析①中，函数定义域为R，但在R上为减函数，故不符合要求；②中，函数定义域为R，且在R上为增函数，故符合要求；③中，函数定义域为(0，＋∞)，不符合要求；④中，函数定义域为R，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，不符合要求.答案②3.函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________.解析f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝lgu在(0，＋∞)上为增函数，u＝x2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f(x)在(－∞，0)上单调递减.答案(－∞，0)4.函数y＝log13(2x＋1)(1≤x≤3)的值域为________.解析因为函数y＝log13t是其定义域上的减函数，并且函数t＝2x＋1是其定义域上的增函数，由复合函数的单调性可知函数y＝log13(2x＋1)在[1，3]上单调递减，则当x＝1时，函数有最大值－1，当x＝3时；函数有最小值－2，故所求函数的值域为[－2，－1].答案[－2，－1]5.已知函数f(x)＝2x－1，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________.解析可判断函数f(x)＝2x－1在[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.答案225考点一函数单调性的判断(证明)【例1】(2015·佛山联考)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1，1)上的单调性.解法一(定义法)设－1x1x21，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝a（x2－x1）（x1－1）（x2－1），由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递增.法二(导数法)f′(x)＝（ax）′（x－1）－ax（x－1）′（x－1）2＝a（x－1）－ax（x－1）2＝－a（x－1）2.当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上递增.规律方法判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.【训练1】已知函数f(x)＝x2＋1－ax，其中a＞0.(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数.(1)解由2f(1)＝f(－1)，可得22－2a＝2＋a，得a＝23.(2)证明任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋1－ax1－x22＋1＋ax2＝x21＋1－x22＋1－a(x1－x2)＝x21－x22x21＋1＋x22＋1－a(x1－x2)＝(x1－x2)x1＋x2x21＋1＋x22＋1－a.∵0≤x1＜x21＋1，0＜x2＜x22＋1，∴0＜x1＋x2x21＋1＋x22＋1＜1.又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减.考点二函数单调性的应用[微题型1]函数的值域与最值【例2－1】已知函数f(x)＝2x－ax的定义域为(0，1](a为实数).(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.解(1)当a＝1时，f(x)＝2x－1x，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－1x1－1x2＝(x1－x2)2＋1x1x2.∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1].(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；当a＜0时，f(x)＝2x＋－ax，当－a2≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；当－a2＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在0，－a2上单调递减，在－a2，1上单调递增，无最大值，当x＝－a2时取得最小值2－2a.规律方法利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最大值是f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最小值是f(b).[微题型2]利用单调性求参数范围【例2－2】(1)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是________.(2)(2015·潍坊模拟)设函数f(x)＝－x2＋4x，x≤4，log2x，x＞4.若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.解析(1)由f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数可得[1，2]⊆[a，＋∞)，∴a≤1.∵y＝1x＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g(x)＝ax＋1在[1，2]上是减函数可得a＞0，故0＜a≤1.(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.答案(1)(0，1](2)(－∞，1]∪[4，＋∞)规律方法已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.[微题型3]比较函数值的大小【例2－3】(2015·福州模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的从大到小关系为________.解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，所以a＝f－12＝f52，故b＞a＞c.答案bac规律方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解.[微题型4]解函数不等式【例2－4】已知f(x)为R上的减函数，则满足f1x＞f(1)的实数x的取值范围是________.解析依题意得1x＜1，即x－1x＞0，解得x＜0或x＞1，所以x的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞).答案(－∞，0)∪(1，＋∞)规律方法解决函数不等式问题的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f(x1)＞f(x2)的形式；(2)论证函数f(x)的单调性；(3)根据单调性去掉法则“f”，转化为形如“x1＞x2”的常规不等式，从而得解.【训练2】(1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥12时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为________.(2)若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是________.解析(1)根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝12对称.又函数f(x)在12，＋∞上单调递增，故f(x)在－∞，12上单调递减，则函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.(2)法一f(x)＝ax－1x＋1＝a－a＋1x＋1，设x1x2－1，则f(x1)－f(x2)＝a－a＋1x1＋1－a－a＋1x2＋1＝a＋1x2＋1－a＋1x1＋1＝（a＋1）（x1－x2）（x1＋1）（x2＋1），又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以f(x1)－f(x2)0.由于x1x2－1，∴x1－x20，x1＋10，x2＋10，∴a＋10，即a－1.故a的取值范围是(－∞，－1).法二由f(x)＝ax－1x＋1，得f′(x)＝a＋1（x＋1）2，又因为f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f′(x)＝a＋1（x＋1）2≤0在x∈(－∞，－1)上恒成立，解得a≤－1，而a＝－1时，f(x)＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故a的取值范围是(－∞，－1).答案(1)4(2)(－∞，－1)[思想方法]1.判断单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法和函数单调性的基本性质.2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数.3.复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，