2012高考数学一轮复习数列--等差数列 ppt

2020年3月1日星期W一、概念与公式1.定义:若数列{an}满足:an+1-an=d(常数),则称{an}为等差数列.2.通项公式:3.前n项和公式:二、等差数列的性质1.首尾项性质:在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等,即:特别地,若项数为奇数,此和还等于中间项的两倍,即:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=2a中a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.Sn=na1+=.n(a1+an)2n(n-1)d2特别地：若p+q=2r,则ap+aq=2ar2.若p+q=r+s(p、q、r、sN+),则ap+aq=ar+as.3.等差中项若在两个数a、b中间插入一个数A,使a、A、b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项，4.顺次n项和性质a+b即A=.2若{an}是公差为d的等差数列,则ak,ak,ak也成等差数列,且公差为n2d.k=2n+13nk=1nk=n+12n二、等差数列的性质即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列！5.已知{an}是公差为d的等差数列(1)若n为奇数,则Sn=na中且S奇-S偶=a中,=.S奇S偶n+1n-1(2)若n为偶数,则S偶-S奇=.nd26.若{an},{bn}均为等差数列,则{man},{mankbn}也为等差数列,其中m,k均为常数.7.若等差数列{an}的前2n-1项和为S2n-1,等差数列{bn}的前2n-1项和为T2n-1,则=.S2n-1T2n-1anbn二、等差数列的性质三、判断、证明等差数列方法1)定义法;2)通项公式法;3)等差中项法;四、Sn的最值问题注:3个数成等差数列,可设为a-d,a,a+d(或a,a+d,a+2d)4个数成等差数列,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.1.若a10,d0时,满足an≥0,an+1≤0.2.若a10,d0时,满足an≤0,an+1≥0.4)前n项和法.1.在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15(1)求前n项和Sn;(2)当n为何值时,Sn有最大值,并求它的最大值.(1)Sn=-(n2-25n);56(2)当且仅当n=12或13时,Sn有最大值,最大值为130;典型例题2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=1,S11=33.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(),且数列{bn}的前n项和为Tn,求证:数列{bn}是等比数列,并求Tn.an12(1)an=n;12(2)Tn=(2+1)(1-2-)n2典型例题3.已知函数f(x)=px2+qx,其中,p0,p+q1.对于数列{an},设它的前项和为Sn,且Sn=f(n)(nN+).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:an+1an1;(3)证明:点M1(1,),M2(2,),M3(3,),…,Mn(n,)都在同一直线上.1S12S23S3nSn(1)an=(2n-1)p+q(nN+);(2)an+1-an=2p0,∴an+1ana1=p+q1;(3)只要证其中任意一点Mr(r,)(r1,rN+)与点M1(1,)1S1rSr连线的斜率为定值(p)即可.典型例题1.已知{an}是等差数列.(1)若前4项和为21,末4项和为67,且各项总和为286.求项数;(2)Sn=20,S2n=38,求S3n;(3)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数.解:(1)设数列的项数为n,依题意得:∴4(a1+an)=21+67=88.∴a1+an=22.∴由n(a1+an)=2Sn=2286得:a1+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,且有:Sn=286,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3.n=26.故所求数列的项数为26.课后练习题(3)依题意S奇+S偶=Sn,S奇-S偶=a中,Sn=na中.Sn=77,a中=11,Sn=na中.解得:a中=11,n=7.课后练习题解(2)∵Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,∴S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn)∴S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54.1.已知{an}是等差数列.(1)前4项和为21,末4项和为67,且各项和为286.求项数;(2)Sn=20,S2n=38,求S3n;(3)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数.∴中间项a中=11,项数n=7.2.等差数列{an},{bn}中,前n项和分别为Sn,Sn,且=,求.SnSn7n+2n+4a5b5S9S979+29+4a5b5解:======5.a1+a92b1+b92a1+a92b1+b92991365课后练习题3.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和.求Tn.Snn解:设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+.n(n-1)d2∵S7=7,S15=75,解得:a1=-2,d=1.∴Tn=n2-n.94147a1+21d=7,15a1+105d=75,∴a1+3d=1,a1+7d=5,即∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1).Snn1212∵-=,Sn+1n+1Snn1212Snn∴数列{}是等差数列,其首项为-2,公差为.课后练习题1.已知四个正数,前三个数成等差数列,其和为48,后三个数成等比数列,其最后一个数是25,求此四数.解:由已知可设前三个数为a-d,a,a+d(d为公差)且a+d0.又后三数成等比数列,其最后一个数是25,解得:a=16,d=4.故所求四数分别为12,16,20,25.∴a-d+a+a+d=48,且(a+d)2=25a.∴a-d=12,a+d=20.课后练习题2.数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2,(1)设bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列,并求其通项;(2)设cn=,求证:数列{cn}是等差数列，并求Sn=a1+a2+…+an.an2n(1)证:由已知an+1=Sn+1-Sn=4an+2-4an-1-2,∴an+1=4an-4an-1(n≥2).∴bn=an+1-2an=4an-4an-1-2an=2(an-2an-1)=2bn-1.∴=2(n≥2).bn-1bn∴{bn}是以3为首项,2为公比的等比数列.又由a1=1,a1+a2=S2=4a1+2得a2=5,∴b1=a2-2a1=3.∴bn=32n-1.课后练习题∴数列{cn}是等差数列.(2)证:∵cn+1-cn=-an2nan+12n+1an+1-2an2n+1=bn2n+1==32n-12n+1=(常数),342.数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2,(1)设bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列,并求其通项;(2)设cn=,求证:数列{cn}是等差数列;(3)求Sn=a1+a2+…+an.an2n课后练习题∴Sn=4an-1+2=4(3n-4)2n-3+2=(3n-4)2n-1+2.∴an=2ncn=(3n-1)2n-2.(2)解:由已知c1==,12a12∴由上得cn=+(n-1)=(3n-1).123414∴an-1=(3n-4)2n-3(n≥2).而S1=a1=1亦适合上式,∴Sn=(3n-4)2n-1+2(nN*).2.数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2,(1)设bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列,并求其通项;(2)设cn=,求证:数列{cn}是等差数列,并求Sn=a1+a2+…+an.an2n课后练习题∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).证:(1)∵an+1=Sn+1-Sn,又an+1=Sn,n+2n整理得nSn+1=2(n+1)Sn.n+2n∴Sn+1-Sn=Sn,SnnSn+1n+1∴=2.3.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…),证明:(1)数列{}是等比数列;(2)Sn+1=4an.n+2nSnnSnn∴{}是以1为首项,2为公比的等比数列.课后练习题(2)证明:由(1)知=2n-1Snn∴Sn=n2n-1，即Sn+1=(n+1)2n∵an=Sn-Sn-1=n2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2(n≥2).而a1=1也适合上式！∴an=(n+1)2n-2(nN*)∴4an=(n+1)2n=Sn+1即Sn+1=4an3.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…),证明:(1)数列{}是等比数列;(2)Sn+1=4an.n+2nSnn课后练习题作业布置：完成数学之友！