《一元二次方程的实根分布问题》

一元二次方程的实根分布问题问题已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的取值范围。条件1：若方程有两个正根。0)0(02304)3(2mfmmm10mOxy如右图知分析设f(x)=x²+(m–3)x+m条件2：若方程的两个根均小于1。022)1(12304)3(2mfmmm9m如右图知分析设f(x)=x²+(m–3)x+mOxy1问题已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的取值范围。条件3：若方程的一个根大于1，一个根小于1。1m如右图知分析设f(x)=x²+(m–3)x+mOxy1022)1(mf问题已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的取值范围。条件4：若方程的两个根均在(0，2)内。023)2(0)0(223004)3(2mfmfmmm132m如右图知分析设f(x)=x²+(m–3)x+mOxy2问题已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的取值范围。条件5：若方程的两个根有且仅有一个在(0，2)内。132m如右图知分析设f(x)=x²+(m–3)x+mOxy232m0)23()2()0(mmff3、12300)0(mf且1、22310)2(mf且2、由于1，2，3知m的取值范围是132m问题已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的取值范围。条件6：若方程的一个根在(–2，0)，另一个根在(0，4)。045)4(0)0(010)2(mfmfmf054m如右图知分析设f(x)=x²+(m–3)x+mxOy42问题已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的取值范围。条件7：若方程的一个根小于2，另一个根大于4。045)4(023)2(mfmf54m如右图知分析设f(x)=x²+(m–3)x+mOxy24问题已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的取值范围。条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根的绝对值较大。0230)0(mmf0m如右图知分析设f(x)=x²+(m–3)x+mOxy问题已知方程x²+(m–3)x+m=0，求实数m的取值范围。一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象，利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题，下面通过例题具体情况来说明。设二次方程)0(02acbxax的二实根为)(,2121xxxxacb42方程对应的二次函数为)0()(2acbxaxxf小结两个根均小于k两个根均大于k一个根小于k，一个根大于k。Oxyk0)(20kfkabOxyk0)(20kfkabxOyk0)(kf小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a0)的实根分布两个根均在(m，n)内X1∈(m，n)，X2∈(p，q)。0)(0)(20nfmfnabm小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a0)的实根分布0)()0(nfmf两根均在[m，n]外两旁OxynmnOxymOxypmqn0)(0)(0)(0)(qfpfnfmf小结：一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a0)的实根分布两个根有且仅有一个在(m，n)内0)()(nfmf220)(nmabmmf且或nabnmnf220)(且或nOxymnOxymnOxym注意：由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑以下三个方面：①判别式的符号；acb42②对称轴abx2的位置分布；③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。k课堂练习：1.若方程7x²–(m+13)x+m²–m–2=0在区间(0，1)、(1，2)上各有一个实根，求实数m的取值范围。)4,3()1,2(2.若方程2x²–(m–2)x–2m²–m=0的两根在区间[0，1]之外两旁，求实数m的取值范围。),1()2,(4.若方程x²–2mx+m–1=0在区间(–2，4)上有两根，求实数m的取值范围。)3,1(3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根，一个小于1，另一个大于1，则求实数k的取值范围。),0()4,(课堂练习：