2016高考数学二轮复习 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形课件 理

第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.真题感悟1.(2015·江苏卷)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________.解析∵tanα＝－2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－2＋tanβ1＋2tanβ＝17，解得tanβ＝3.答案32.(2012·江苏卷)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________.解析∵α为锐角且cosα＋π6＝45，∴α＋π6∈π6，2π3，∴sinα＋π6＝35.∴sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝2sinα＋π6cosα＋π6－222cos2α＋π6－1＝2×35×45－222×452－1＝12225－7250＝17250.答案172503.(2010·江苏卷)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB＝________.解析ba＋ab＝6cosC⇒6abcosC＝a2＋b2，6ab·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2，a2＋b2＝3c22.tanCtanA＋tanCtanB＝sinCcosC·cosBsinA＋sinBcosAsinAsinB＝sinCcosC·sin（A＋B）sinAsinB＝1cosC·sin2CsinAsinB，由正弦定理得：上式＝1cosC·c2ab＝4.答案44.(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC,则cosC的最小值是________.解析∵sinA＋2sinB＝2sinC.由正弦定理可得a＋2b＝2c，即c＝a＋2b2，cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a＋2b222ab＝3a2＋2b2－22ab8ab≥26ab－22ab8ab＝6－24，当且仅当3a2＝2b2，即ab＝23时等号成立.∴cosC的最小值为6－24.答案6－24考点整合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.(2)诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.(4)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.2.正、余弦定理、三角形面积公式(1)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径).变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC；推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.(3)S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.热点一三角变换的应用[微题型1]求值【例1－1】(1)(2015·苏北四市模拟)sin(π－α)＝－53且α∈π，3π2，则sinπ2＋α2＝________.(2)(2015·邯郸模拟)已知cos（π－2α）sinα－π4＝－22，则cosα＋sinα＝________.(3)(2015·金华模拟)已知tanαtanα－1＝－1，则cos2π2＋α－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝________.解析(1)sin(π－α)＝sinα＝－53，又α∈π，3π2，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－532＝－23.由cosα＝2cos2α2－1，α2∈π2，3π4，得cosα2＝－cosα＋12＝－66.所以sinπ2＋α2＝cosα2＝－66.(2)cos（π－2α）sinα－π4＝－cos2α22（sinα－cosα）＝－（cos2α－sin2α）22（sinα－cosα）＝2(cosα＋sinα)＝－22.所以cosα＋sinα＝－12.(3)由tanαtanα－1＝－1得tanα＝12，所以cos2π2＋α－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosα＋2(sin2α＋cos2α)＝3sin2α＋sinαcosα＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋tanα＋2tan2α＋1＝3×122＋12＋2122＋1＝135.答案(1)－66(2)－12(3)135探究提高在三角函数求值过程中，要注意“三看”，即：(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；(2)看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用.[微题型2]求角【例1－2】(2015·中山模拟)已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解析因为cos(2α－β)＝－1114，且π4＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437，且－π4＜α－2β＜π2.所以cos(α－2β)＝17，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.又π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3.答案π3探究提高解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断.【训练1】(2014·江苏卷)已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos5π6－2α的值.解(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.故sinπ4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310.热点二正、余弦定理的应用[微题型1]判断三角形的形状【例2－1】(2015·南师附中模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是________.解析因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，所以(a2＋b2)(sinAcosB－cosAsinB)＝(a2－b2)(sinAcosB＋cosAsinB)，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.法一由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，因为sinA·sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B.在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.法二由正弦定理、余弦定理得a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac，即a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形探究提高判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断.如本题既可化为角的关系A＝B或A＋B＝π2来判断，也可化为边的关系a＝b或a2＋b2＝c2来判断.同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.[微题型2]解三角形【例2－2】(2014·苏、锡、常、镇模拟)△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝1213.(1)求AB→·AC→；(2)若c－b＝1，求a的值.解(1)由cosA＝1213，且0Aπ，得sinA＝1－12132＝513.又S△ABC＝12bcsinA＝30，所以bc＝156，所以AB→·AC→＝bccosA＝156×1213＝144.(2)由(1)知bc＝156，又cosA＝1213，c－b＝1，在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×1－1213＝25，所以a＝5.探究提高解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.[微题型3]求解三角形中的实际问题【例2－3】(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在△ABC中，因为cosA＝1213，cosC＝35，所以sinA＝513，sinC＝45.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsinC＝ACsinB，得AB＝ACsinB·sinC＝12606365×45