【三轮冲刺】2013年高中数学复习点睛专题(考向聚焦+解题反思)课件：第23讲 定点定值问题与最值问

第23讲定点定值问题与最值问题考向一:圆锥曲线中的定点问题【例1】已知椭圆(ab0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知圆M:x2+y2=的切线l与椭圆相交于A、B两点,那么以AB为直径的圆是否经过定点?如果是,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由.名师导引:①本题中抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点,说明了什么问题?【a=】②对于第(2)问,假设存在这样的定点,如何通过特殊的直线来确定?【选取斜率不存在的直线即x=,斜率为零的直线即y=-,确定定点】③通过假设找到了定点,如何进行证明?【利用特殊情况确定定点的坐标,然后根据直线和圆、椭圆的位置关系验证以AB为直径的圆是否经过该点】解:(1)∵椭圆C的离心率e=,∴=,即a=c.∵抛物线y2=4x的焦点F(,0)恰好是该椭圆的一个顶点,∴a=,∴c=1,b=1.∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)①当直线l的斜率不存在时.∵直线l与圆M相切,故其中的一条切线方程为x=.则以AB为直径的圆的方程为②当直线l的斜率为零时,∵直线l与圆M相切,故其中的一条切线方程为y=-.则以AB为直径的圆的方程为x2+(y+)2=.显然以上两圆的一个交点为O(0,0).③当直线l的斜率存在且不为零时.设直线l的方程为y=kx+m.消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2因为直线l和圆M相切,所以圆心到直线l的距离将②式代入①式,得OA·OB=0,显然以AB为直径的圆经过定点O(0,0).综上可知,以AB为直径的圆过定点O(0,0).举一反三11:(2010年江苏南京模拟)已知椭圆+=1(ab0)的长轴长为4,离心率为,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,过点P作椭圆的切线l,交y轴于点A,直线l'过点P且垂直于l,交y轴于点B.(1)求椭圆的方程.(2)试判断以AB为直径的圆能否经过定点?若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.(2)设点P(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),整理得(3+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-12=0.考向二:圆锥曲线中的定值问题【例2】(2011年高考山东卷)已知动直线l与椭圆C:+=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=,其中O为坐标原点.(1)证明:+和+均为定值;(2)设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;(3)椭圆C上是否存在三点D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=?若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由.名师导引:①本题的直线l应该有两种情况,即斜率存在与不存在.如何证明第(1)问的定值?【当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,易求+和+,当直线l的斜率存在时运用设而不求的思想求出+和+】②求第(2)问,需要利用哪些公式?【用中点坐标公式和两点间距离公式代入计算,|OM|,|PQ|都用m表示出来,从而可建立函数关系求其最值】③对于第(3)问的判定,使用什么方法?【使用反证法,假设存在,结合(1)的结果计算三点坐标,然后判定这些关系是否满足题意】(1)证明:当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,则x1=x2,y1=-y2,由P(x1,y1)在椭圆上,则|x1|=,|y1|=1,于是+=3,+=2.当直线l的斜率存在,设直线l为y=kx+m,2x2+3(kx+m)2=6,即(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,Δ0,即3k2+2m2设原点O到直线l的距离为d,则3k2+2=2m2,满足Δ0综上可知+=3,+=2.解:(2)当直线l的斜率不存在时,由(1)知|OM|·|PQ|=|x1|·|PQ|=×2=;当直线l的斜率存在时,由(1)知(3)椭圆C上不存在三点D、E、G,证明:假设椭圆上存在三点D,E,G,缺乏分类意识,以偏概全,忽略直线l的斜率不存在的情况,忽略假设方法的运用,或忘记验证都将造成失误.举一反三21:(2011年浙江衢州市模拟)在平面直角坐标系xOy中,过定点C(p,0)作直线与抛物线y2=2px(p0)相交于A,B两点.(1)设N(-p,0),求·的最小值.(2)是否存在垂直于x轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)依题意,可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为:x=my+p由⇒y2-2pmy-2p2=0∴∴·=(x1+p,y1)·(x2+p,y2)=(x1+p)(x2+p)+y1y2=(my1+2p)(my2+2p)+y1y2=(m2+1)y1y2+2pm(y1+y2)+4p2=2p2m2+2p2当m=0时·的最小值为2p2.(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为x=a,AC的中点为O',l与以AC为直径的圆相交于P,Q,PQ中点为H,则O'H⊥PQ,O'的坐标为(,).∴|PH|2=|O'P|2-|O'H|2=(+p2)-(2a-x1-p)2=(a-p)x1+a(p-a)∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-p)x1+a(p-a)]令a-p=0得a=p.此时|PQ|=p为定值.故满足条件的直线l存在,其方程为x=p.考向三:圆锥曲线中的最值问题【例3】已知椭圆+=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在第一象限且是椭圆上一点,并满足·=1,过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.(1)求证:直线AB的斜率为定值;(2)求△PAB面积的最大值.名师导引:(1)如何求证直线AB的斜率为定值?【首先求出点P的坐标,由直线PA、PB与椭圆有交点,利用根与系数的关系,求出直线的斜率】(2)如何求△PAB面积的最大值?【根据点到直线的距离公式求得△PAB的高,从而建立△PAB的面积关于截距m的函数关系式,结合Δ0中m的取值范围求得△PAB面积的最值】(1)证明:由条件可得F1(0,),F2(0,-),设P(x0,y0)(x00,y00),则PF1=(-x0,-y0),PF2=(-x0,--y0),所以PF1·PF2=-(2-)=1,则点P的坐标为(1,).因为直线PA、PB的斜率必存在,故不妨设直线PB的斜率为k(k0),则直线PB的方程为:y-=k(x-1),设B(xB,yB),A(xA,yA),(2)解:由(1)可设直线AB的方程为:y=x+m.消去y,得4x2+2mx+m2-4=0,由Δ=(2m)2-16(m2-4)0,得m28,即-2m2,当且仅当m=±2时取等号.所以△PAB面积的最大值为.举一反三31:(2011年浙江省名校模拟)已知抛物线x2=4y,圆C:x2+(y-2)2=4,M(x0,y0),(x00,y00)为抛物线上的动点.(1)若y0=4,求过点M的圆的切线方程;(2)若y04,求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值.解:(1)y0=4,x0=4当点M坐标为(4,4)时,设切线y-4=k(x-4)即kx-y+4-4k=0圆心到切线的距离3k2-4k=0,得k=0或所以切线为:y=4或4x-3y-4=0.(2)设切线:y-y0=k(x-x0),即:kx-y+y0-kx0=0,切线与x轴交点为圆心到切线的距离4++k2-4y0+4kx0-2x0y0k=4k2+4化简得:(-4)k2+2x0(2-y0)k+-4y0=0设两切线斜率分别为k1,k2,故两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32.