2016高考数学大一轮复习 4.7正弦定理、余弦定理课件 理 苏教版

§4.7正弦定理、余弦定理第四章三角函数、解三角形数学苏（理）基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分1.正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a2＝；b2＝；c2＝________________asinA＝＝＝2RbsinBcsinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC变形(5)cosA＝；cosB＝；cosC＝2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22aca2＋b2－c22abA为锐角A为钝角或直角图形2.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，AB必有sinAsinB.()(2)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(，2).()(3)若△ABC中，acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形.()√√√33(4)在△ABC中，tanA＝a2，tanB＝b2，那么△ABC是等腰三角形.()(5)当b2＋c2－a20时，三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a20时，三角形为钝角三角形.()(6)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于.()×××332题号答案解析1234π3钝角3322方法一因为bcosC＋ccosB＝2b，所以b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2b，化简可得ab＝2.方法二因为bcosC＋ccosB＝2b，所以sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，故sin(B＋C)＝2sinB，故sinA＝2sinB，则a＝2b，即ab＝2.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形解析思维升华例1(2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；79解析思维升华解由余弦定理得：cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－42ac＝79，即a2＋c2－4＝149ac.∴(a＋c)2－2ac－4＝149ac，题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；79解析思维升华∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，得a＝c＝3.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；79解析思维升华(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；79解析思维升华(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；79解析思维升华例1(2)求sin(A－B)的值.解在△ABC中，cosB＝79，解析思维升华例1(2)求sin(A－B)的值.∴sinB＝1－cos2B＝1－792＝429.由正弦定理得：asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb，解析思维升华例1(2)求sin(A－B)的值.＝3×4292＝223.又A＝C，∴0Aπ2，∴cosA＝1－sin2A＝13，∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB解析思维升华例1(2)求sin(A－B)的值.＝223×79－13×429＝10227.解析思维升华(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.例1(2)求sin(A－B)的值.解析思维升华(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.例1(2)求sin(A－B)的值.跟踪训练1(1)(2014·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为.14解析由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝32c.又b－c＝14a，∴12c＝14a，即a＝2c.跟踪训练1(1)(2014·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为.14由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－34c23c2＝－14.－14(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝.35513解析在△ABC中，∵cosA＝350，∴sinA＝45.∵cosB＝5130，∴sinB＝1213.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝.35513＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知bsinB＝csinC，∴c＝bsinCsinB＝3×56651213＝145.145题型二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；解析思维升华解析思维升华解由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∵0°A180°，∴A＝60°.题型二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；解析思维升华(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是不是正三角题型二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；解析思维升华形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.题型二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；解析思维升华例2(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状.3解∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.解析思维升华例2(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状.3由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝.3解析思维升华例2(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状.3∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.∵0°B120°，∴30°B＋30°150°.∴B＋30°＝90°,B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为等边三角形.解析思维升华(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是不是正三角例2(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状.3解析思维升华形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.例2(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状.3跟踪训练2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则△ABC为.①钝角三角形②直角三角形③锐角三角形④等边三角形cb解析已知cbcosA，由正弦定理，得sinCsinBcosA，即sinCsinBcosA，跟踪训练2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则△ABC为.①钝角三角形②直角三角形③锐角三角形④等边三角形cb所以sin(A＋B)sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA0，所以cosBsinA0.跟踪训练2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则△ABC为.①钝角三角形②直角三角形③锐角三角形④等边三角形cb又sinA0，于是有cosB0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形.①(2)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为.①等边三角形②直角三角形③等腰三角形或直角三角形④等腰直角三角形B2a＋c2c解析∵cos2B2＝1＋cosB2，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝a2＋c2－b22a，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形.答案②解析思维升华题型三和三角形面积有关的问题例3(2014·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c＝,cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.(1)求角C的大小；333解析思维升华解由题意得1＋cos2A2－1＋cos2B2＝32sin2A－32sin2B，即32sin2A－12cos2A＝32sin2B－12cos2B，题型三和三角形面积有关的问题例3(2014·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c＝,cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.(1)求角C的大小；333解析思维升华sin2A－π6＝sin2B－π6.由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得2A－π6＋2B－π6＝π，即A＋B＝2π3，所以C＝π3.题型三和三角形面积有关的问题例3(2014·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c＝,cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.(1)求角C的大小；333解析思维升华三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.题型三和三角形面积有关的问题例3(2014·浙江)在△ABC