2016高考数学常见题型(第二辑)：数列综合问题

数列综合问题数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差，等比数列的求和公式，错位相减求和及裂项相消求和，数列求和常与函数、方程不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上，又注意考查学生分析问题、解决问题的能力．典例(本题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，数列{bn}是正项等比数列，且满足a1＝2b1，b3(a3－a1)＝b1，n∈N*.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.教你快速规范审题1．审条件，挖解题信息2．审结论，明解题方向3．建联系，找解题突破口教你准确规范解答(1)当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1，当n＝1时，满足上式，所以an＝2n＋1.在正项等比数列{bn}中，a1＝2b1＝3，则b1＝32，又a3＝7，b3(a3－a1)＝b1，则b3＝38.设数列{bn}的公比q0，则q＝12，所以数列{bn}的通项公式为bn＝32·12n－1＝3·12n(2)由(1)得cn＝anbn＝3(2n＋1)12n，所以Tn＝3·3·12＋3·5·122＋…＋3·(2n＋1)·12n，①则12Tn＝3·3·122＋3·5·123＋…＋3(2n－1)·12n＋3·(2n＋1)·12n＋1，②①－②得，12Tn＝3·3·12＋3·2·122＋3·2·123＋…＋3·2·12n－3·(2n＋1)·12n＋1，即12Tn＝32＋6·12＋122＋123＋…＋12n－3·(2n＋1)·12n＋1＝32＋6·1－12n－3·(2n＋1)·12n＋1，所以数列{cn}的前n项和Tn＝15－6n＋152n常见失分探因易漏n＝1判断注意如何变形整理结果且不要忘记两边除以12教你一个万能模板1．已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋log21an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋470成立的n的最小值．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有2a1＋a3＝3a2，a2＋a4＝2a3＋2，即a12＋q2＝3a1q，①a1q＋q3＝2a1q2＋4，②由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.当q＝1时，不合题意，舍去；当q＝2时，代入②得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n.故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*)．(2)bn＝an＋log21an＝2n＋log212n＝2n－n.所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝21－2n1－2－n1＋n2＝2n＋1－2－12n－12n2.因为Sn－2n＋1＋470，所以2n＋1－2－12n－12n2－2n＋1＋470，即n2＋n－900，解得n9或n－10.因为n∈N*，故使Sn－2n＋1＋470成立的正整数n的最小值为10.2．已知等差数列{an}，Sn为其前n项和，a5＝10，S7＝56.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝a1＋3an，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)由S7＝7a4＝56得a4＝8，公差d＝a5－a4＝2，a1＝a5－4d＝2，故an＝2n.(2)∵bn＝2＋32n，∴Tn＝(2＋9)＋(2＋92)＋…＋(2＋9n)＝2n＋99n－18.3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2(n∈N*)，等比数列{bn}满足b1＝a1,2b3＝b4.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若cn＝an·bn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.解析：(1)∵当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，∴an＝2n－1(n∈N*)，∴b1＝a1＝1，设等比数列{bn}的公比为q，则q≠0.∵2b3＝b4，∴2q2＝q3，∴q＝2，∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)可得cn＝an·bn＝(2n－1)×2n－1(n∈N*)，∴Tn＝1×20＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①∴2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，②②－①得Tn＝(2n－1)×2n－(1×20＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1)＝(2n－1)×2n－(1＋22＋23＋…＋2n)＝(2n－3)×2n＋3.4．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2Sn＋48n，数列{bn}的最小项是第几项？并求出该项的值．解析：(1)设公差为d，则有7a1＋21d＝70，a22＝a1a6，即a1＋3d＝10，a1＋d2＝a1a1＋5d，解得a1＝1，d＝3或a1＝10，d＝0(舍去)，所以an＝3n－2.(2)Sn＝n2[1＋(3n－2)]＝3n2－n2，所以bn＝3n2－n＋48n＝3n＋48n－1≥23n·48n－1＝23，当且仅当3n＝48n，即n＝4时取等号，故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.5．(2015年洛阳模拟)在数列{an}中，a1＝－5，a2＝－2，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2(n∈N*)，若对于任意n∈N*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{|an|}的前n项和．解析：(1)根据题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列，∴A(n)＋C(n)＝2B(n)，整理得an＋2－an＋1＝a2－a1＝－2＋5＝3，∴数列{an}是首项为－5，公差为3的等差数列，∴an＝－5＋3(n－1)＝3n－8.(2)|an|＝－3n＋8，n≤2，3n－8，n≥3，记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n≤2时，Sn＝n5＋8－3n2＝－3n22＋132n；当n≥3时，Sn＝7＋n－21＋3n－82＝3n22－132n＋14，综上，Sn＝－32n2＋132n，n≤2，32n2－132n＋14，n≥3.