2016高考数学总复习课时作业堂堂清立体几何9-7

高三总复习数学(大纲版)第七节棱柱与棱锥高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)考纲要求1.了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．2.了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．考试热点1.以客观题考查棱柱、棱锥的概念和性质．2.以棱柱、棱锥为载体的解答题综合考查线面位置关系以及角、距离的求法.高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)1．棱柱(1)定义有两个面，其余各面的公共边的多面体叫做棱柱，侧棱与底面的棱柱叫做直棱柱．底面是的直棱柱叫正棱柱．互相平行互相平行垂直正多边形高三总复习数学(大纲版)(2)性质棱柱的各侧棱，各侧面都是；长方体的对角线的平方等于．(3)直棱柱的侧面积公式S＝．(4)棱柱的体积公式V柱＝．相等平行四边形由一个顶点出发的三条棱的长的平方和Ch，C是底面的周长，h是直棱柱的侧棱长Sh，其S是棱柱的底面积，h是棱柱的高高三总复习数学(大纲版)2．棱锥(1)定义一个面是多边形，其余各面是的多面体叫做棱锥．底面是并且顶点在底面上的射影是的棱锥叫做正棱锥．(2)性质棱锥中与底面平行的截面与底面，并且它们面积的比等于对应高的．在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成；斜高、高及构成直角三角形．有一个公共顶点的三角形正多边形的中心平行平方比直角三角形斜高在底面内的射影正多边形高三总复习数学(大纲版)定理：如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于．截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比高三总复习数学(大纲版)(3)正棱锥的侧面积S＝．(4)棱锥的体积公式V＝．高三总复习数学(大纲版)1．侧棱长为2的正三棱锥，若高为1，则该正三棱锥的底面周长是()A．6B．9C．12D．18高三总复习数学(大纲版)解析：如图1所示，由正三棱锥的性质知顶点A在底面的射影O为底面三角形BCD的中心，连结BO，设底面边长为a，则BO＝33a，在Rt△AOB中，12＋a23＝22，∴a＝3，所以底面周长为9.答案：B高三总复习数学(大纲版)2．正方形ABCD的边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图2)，M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE＝∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为()高三总复习数学(大纲版)解析：过点M作MM′⊥EF于M′，则MM′⊥平面BCF.∵∠MBE＝∠MBC，∴BM′为∠EBC的角平分线，∴∠EBM′＝45°，答案：A高三总复习数学(大纲版)3．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC边上的中点，沿AE将△ADE折起后，平面DAE⊥平面BAE，则四棱锥D－ABCE的体积为()高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)解析：过D作DF垂直AE，垂足为点F，由题意得DE＝2，则在△ADE中有AE＝22＋32＝13，根据DE×AD＝AE×DF得DF＝2×313＝61313.折叠后平面DAE⊥平面BAE，根据两个平面相互垂直的性质，得DF⊥平面ABCE，S梯形ABCE＝(2＋4)×32＝9，所以四棱锥D－ABCE的体积为13×9×61313＝181313.答案：D高三总复习数学(大纲版)4．正四棱锥S－ABCD的底面边长为高为，则异面直线AB与SC所成角的大小是________．高三总复习数学(大纲版)解析：如图5所示，分别取SA、AD的中点E、F，O是底面中心，连结OE、OF、EF，∵OE∥SC，OF∥AB，∴∠EOF(或其补角)为异面直线AB与SC所成的角，高三总复习数学(大纲版)∵SA＝SO2＋OA2＝(2)2＋(2)2＝2，OF＝12AB＝1，OE＝12SC＝1，EF＝12SD＝12SA＝1，∴△OEF为等边三角形，∴∠EOF＝60°即为所求．答案：60°高三总复习数学(大纲版)5．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，点E、F分别是棱AB、BC中点，EF与BD相交于G.如图6所示．(1)求异面直线D1E和DC所成角的正切值；(2)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(3)求点D1到平面B1EF的距离．高三总复习数学(大纲版)解：(1)连结AD1，∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱．∴A1A⊥平面ABCD.∴平面ADD1A1⊥平面ABCD.又AB⊥AD.∴AB⊥平面ADD1A1.∴AB⊥AD1.高三总复习数学(大纲版)由已知AD＝22，DD1＝4.∴AD1＝AD2＋DD21＝(22)2＋42＝26.而AE＝2，tan∠AED1＝AD1AE＝262＝23.∵DC∥AB，∴D1E与DC所成的角就是D1E与AB所成的角，即∠D1EA.∴直线D1E与DC所成角的正切值为23.高三总复习数学(大纲版)(2)证明：连结AC，由已知，EF∥AC，AC⊥BD.∴EF⊥BD.又BB1⊥EF，且BD∩BB1＝B，∵EF⊥平面BDD1B1，∴EF⊂平面EFB1，∴平面EFB1⊥平面BDD1B1.(3)连结B1G，作D1H⊥B1G，H为垂足，由于平面EFB1⊥平面BDD1B1，B1G为交线．∴D1H⊥平面B1EF，D1H的长是点D1到平面EFB1的距离．在Rt△D1B1H中，D1H＝D1B1·sin∠D1B1H.高三总复习数学(大纲版)∵D1B1＝2A1B1＝2×22＝4，sin∠D1B1H＝sin∠B1GB＝417，∴D1H＝1617＝161717.∴点D1到平面B1EF的距离为161717.高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)棱柱、棱锥的概念与性质[例1]如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()高三总复习数学(大纲版)A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上[分析]过顶点作底面的垂线，找到线面角；利用四点共圆的条件判断A、C；找到球心判断D.高三总复习数学(大纲版)[解析]如图8所示，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．高三总复习数学(大纲版)[答案]B[拓展提升]解决这类问题需在理解棱柱、棱锥几何特征与性质的基础上，准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，高考中往往综合考查线面位置关系，需要有较强的空间想像能力．当需要否定一个命题时，举一个反例即可．作为选择题，利用四选一的特点，排除三个，可确定第四个为答案．高三总复习数学(大纲版)(1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．以上四个命题中，真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4高三总复习数学(大纲版)(2)设命题甲：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD－A1B1C1D1是正方体”．那么，甲是乙的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件高三总复习数学(大纲版)解析：(1)命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜平行六面体．命题②不是真命题，若底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体．命题③也不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直．命题④是真命题，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体．故选A.高三总复习数学(大纲版)(2)甲乙，因为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，只要满足底面对角线AC⊥BD，则平面ACB1⊥面BB1D1D，但底面四边形ABCD不一定为正方形，所以甲成立时，乙不成立．显然，乙⇒甲．答案：(1)A(2)C高三总复习数学(大纲版)棱柱、棱锥的体积问题[例2]如图9所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是Rt△ABC，∠BAC是直角，且BC1⊥AC，作C1H⊥底面ABC，垂足为H.(1)试判断H点的位置，并说明理由；(2)若AB＝AC＝2，AC1＝2，侧棱与底面成60°的角，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．高三总复习数学(大纲版)[分析](1)利用面面垂直的性质定理；(2)利用(1)的结论，找出线面角，然后考查基本运算．[解](1)∠BAC为直角，CA⊥AB，CA⊥BC1，∴CA⊥平面C1AB，且CA⊂平面CAB，∴平面C1AB⊥平面CAB.在平面C1AB内作C1H′⊥AB.∴C1H′⊥平面CAB，又C1H⊥平面CAB，∴H与H′重合，∴H点在直线BA上．高三总复习数学(大纲版)(2)CA⊥平面ABC1，∴CA⊥AC1.Rt△CAC1中，AC1＝27，AC＝2，∴CC1＝(27)2＋22＝42.C1H⊥底面ABC，侧棱与底面成60°角，∴∠C1CH＝60°，C1H⊥CH.Rt△CHC1中，C1H＝CC1sin60°＝42×32＝26，＝SRt△ABC·C1H＝12×2×2×26＝46.高三总复习数学(大纲版)[拓展提升]本题主要考查棱柱的性质及体积公式，应注意的是，利用面面垂直的性质找线面垂直是常用方法．高三总复习数学(大纲版)如图10，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1－B1EDF的体积．高三总复习数学(大纲版)解：解法1：连结A1C1、B1D1交于O1，过O1作O1H⊥B1D于H，∵EF∥A1C1，∴A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高．高三总复习数学(大纲版)∵△B1O1H∽△B1DD1，∴O1H＝B1O1·DD1B1D＝66a.·O1H＝13·12·EF·B1D·O1H＝13·12·2a·3a·66a＝16a3.高三总复习数学(大纲版)解法2：连结EF，设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝2a，高三总复习数学(大纲版)棱柱、棱锥中的平行与垂直问题[例3]如图11，四棱锥S－ABCD的底面ABCD是直角梯形，已知SD垂直底面ABCD，且∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝2AD.(1)求证：平面SBC⊥平面SCD；(2)E为侧棱SB上的一点，为何值时，AE∥平面SCD，证明你的结论．高三总复习数学(大纲版)[分析](1)利用面面垂直的判定定理，(2)利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理．高三总复习数学(大纲版)[解](1)证明：∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥BC.又BC⊥CD，故BC⊥平面SCD.BC⊂平面SBC，故平面SBC⊥平面SCD.高三总复习数学(大纲版)(2)SESB＝12时，AE∥平面SCD；解法1：取SB的中点E，BC的中点F，连结AF、EF，则AF∥CD，EF∥SC，故EF∥平面SCD，AF∥平面SCD，EF∩AF＝F，平面AEF∥平面SCD.而AE⊂平面AEF，∴AE∥平面SCD.高三总复习数学(大纲版)解法2：取SB、SC的中点分别为E、G，连结EG、DG.则GE∥BC，GE＝12BC，又AD∥BC，AD＝12BC，故AD綊GE，于是四边形AEGD为平行四边形．故AE∥DG，又DG⊂平面SCD，故AE∥平面SCD.高三总复习数学(大纲版)[拓展提升]在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确把握．如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等，其次还要