【下雨啦】高考数学专题复习三(数形结合思想)

第3讲数形结合思想1.数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略,它包括两个方面:“以形助数”和“以数助形”.“以形助数”即是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，它是以“形”为手段，以“数”为目的，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质，应用数轴直观表达不等式组的解集.“以数助形”是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，它是以“数”为手段，以“形”为目的，如二分法确认方程根的分布，曲线方程可以精确地阐明曲线的几何性质.2.数形结合，是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法，也是一种智慧的解题技巧，它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，繁琐的问题条理化，从而，便于找到简捷的解题思路，使问题得到解决.3.在运用数形结合思想解题时，还必须关注以下几个方面：（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础.（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势.“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.4.数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离”.可见，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌握，熟练应用.【例1】已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R}，且在(0,+∞）上单调递增，若f(1)=0,满足x·f(x)0的x的取值范围是.分析函数f（x）比较抽象，欲解出目标不等式是不可能的，注意到x·f（x）0表明自变量与函数值异号，故可作出f（x）的图象加以解决.解析作出符合条件的一个函数图象（草图即可），可知：x·f（x）0的x取值范围是（-1，0）∪（0，1）.(-1，0)∪(0，1)探究拓展函数图象是函数对应关系的一种表现方式，它具有直观、形象、简明的特点.通过绘出函数图象，依图象确定相关不等式的解集的方法，称作“图象法解不等式”.变式训练1（2009·徐州调研）设奇函数y=f(x)(x≠0),当x∈(0,+∞)时，f(x)=x-1，则不等式f(x-1)0的解集是.解析常规方法是分x-10,x-10讨论，分别得到不等式，并解之.如果能根据已知条件作出y=f(x)的图象（奇函数图象关于原点对称），则可直观地得到f(x)0的解为x-1或0x1(见图).从而f(x-1)0的解为x-1-1或0x-11,即x0或1x2.答案{x|x0或1x2}【例2】不等式的解集是.xxx24xxxxxxxxxxx42,0,044,0,0422222解析方法一.42,02,0,40xxxxx或方法二数形结合法，令则(x-2)2+y2=4(y≥0)其图象是半圆，在同一直角坐标系中，分别作出y=x的图象，如图所示，当0≤x≤2时，当2x≤4时，故解集为（2，4］.答案（2，4］探究拓展图象法解不等式具有运算量小，思维量小，简捷明了等优点，但对作图象要求较高，必须能准确迅速作出相关函数或方程的图象，再结合具体条件要求分析出结论来.图象法实质是转化化归思想的应用.,42xxy,42xxy;42xxx,42xxx变式训练2解关于x的不等式：|x2-1|ax(a0).解设y1=|x2-1|,y2=ax(a0).如图分别作出两个函数的图象，令y1=y2求出交点横坐标从图形不难看出当函数y2的图象位于y1图象上方时，对应的x的取值范围即为原不等式的解.∴原不等式的解集为..,1221axyxy由242422aaxaax.24,242221aaxaax【例3】关于x的方程上有2个不同的根，求实数a的取值范围及此两根之和.分析由于原式可化为解原方程可化为设在同一坐标系下作出两函数的图象，两图象交点的横坐标即为方程的解，如图所示.为有两个不同的根，应满足32,012cos32sin在axx，xax32,0,21)32sin(又作出函数在为直观求解不能直接使用，a.121.32,0上的图象.21)32sin(ax,21,32,0),32sin(21ayxxy.23211,12123aa或即依图象可以看出所以满足方程的a的取值范围是方程的两根之和为.133,113aa或.6762121xxxx或.133,113aa或.676或探究拓展超越方程（非初等方程）根的个数研究问题，往往转化为函数图象交点个数问题研究，但前提是要将图象画准确，这样，可以避免繁琐的计算（有时是不可能的计算）.本例中实质还运用了构造法.构造出了两个函数，将问题转化为研究何时函数值相等，何时图象有两个不同的交点,最后用运动变化的观点,分析出a的取值范围.变式训练3设关于的方程在区间（0，2）内有相异的两个实根（1）求实数a的取值范围；（2）求的值.0sincos3a.、解.2332,232121,)2,0(.))2,0((aaaa，x或即的充要条件是内有相异实根方程在由图知的图象)3sin(,2)3sin()1(xya作出函数原方程可化为.373.3,62,)3sin(2)1,23(2,32.37,672,67)3sin(2)23,1(2,23:)2(或综上所述由对称性知的图象有两交点角函数与三直线时即当它们中点的横坐标为两点的图象交于与三角函数直线时即当由图知，，A、xyay，aa，C、xyay，aaDB【例4】已知圆C：(x+2)2+y2=1,P(x,y)为圆C上任一点.（1）求的最大、最小值；（2）求x-2y的最大、最小值.分析（1）由容易联想到它的几何意义是点（x,y)与（1，2）所确定直线的斜率.（2）由x-2y可联想到“目标函数”，可视为动直线截距的最值问题.解（1）如图所示，设Q（1，2），由P（x,y），得的最大、最小值分别为过Q点的圆C的两条切线的斜率.将上式整理得kx-y+2-k=0.12xy12xykxy12（2）令x-2y=u,则可视为一组平行线系，当直线与⊙C有公共点时，u的范围可求，最值必在直线与⊙C相切时取得.∴x-2y的最大值为-2+,最小值为-2-..433,43312,433,1122102)0,2(2最小值为的最大值为得距离为的到直线由xykkkkd，kykxC.52,152uud55探究拓展认真分析和研究代数式的结构特征，运用类比、联想，将已知条件转化为直观形象的图形，或挖掘出代数式的几何意义并使之形象化，具体化是数形结合运用能力的体现，备考者要着力培养和训练这一意识与能力.本例中，将最值问题转化为直线斜率的最值问题，并作出相关图象，使问题一目了然，迅速获解.变试训练4设x0,y0,x2-y2=1，则的取值范围为.分析的几何意义是双曲线x2-y2=1在第一象限内的点（x,y)与定点（2，0）的连线斜率，由图象即可求出其取值范围.2xy2xy解析画出双曲线弧x2-y2=1(x0,y0)，在其上任取一点P（x,y）,设Q（2，0），连结PQ，则由图知直线PQ的倾斜角的范围为∴kPQ1或kPQ0,的取值范围为（-∞,0）∪(1,+∞).答案（-∞，0）∪（1，+∞）,20xykPQ).,4(2xy规律方法总结1.运用数形结合思想分析和解决问题时，首先要彻底弄清一些概念和运算的几何意义，以及曲线的方程特征，为运用“数形结合”思想作好基础性准备，对于数学题设中的条件和结论既要分析其几何意义，又要分析其代数意义，以期望迅速找到两者的“结合点”，实现“数形结合”的愿望.2.要树立强烈的“数形结合意识”，“由数思形”和“以形想数”，有时还要恰当的设立参数，合理用好参数，建立恰当的关系式，有助于问题解决.3.纵观近几年江苏省高考试题，不难发现，数形结合应用的考查，比比皆是，解析几何问题，函数与不等式问题，参数范围问题，集合问题，立体几何问题，数列问题等都用到了数形结合的思想与方法.4.应用数形结合思想方法解题，通常可以从以下几个方面思考：（1）函数、不等式与函数图象；（2）曲线与方程；（3）代数式的结构特征；（4）概念自身的几何意义；（5）参数蕴含的几何意义；（6）向量的两重性（代数性与几何性）；（7）可行域与目标函数.5.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则.要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应.（2）双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.（3）简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三是挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.一、填空题1.设奇函数f(x)的定义域为［-5，5］，若当x∈［0，5］时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解是.解析根据图象的对称性可得f(x)0的解为-2x0,或2x≤5.（-2，0）∪（2，5］2.设函数若f(x0)1,则x0的取值范围是.解析如图所示，画出函数f(x)的图象和常数函数f(x)=1的图象，观察图形，易知x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).,0,,0,12)(21xxxxfx（-∞,-1)∪(1,+∞)3.函数f(x)=x2-x-2,x∈［-5，5］，那么任取一点x0,使f(x0)≤0的概率是.解析几何概型.f（x）=x2-x-2≤0-1≤x≤2,.3.0103)5(5)1(2P0.34.已知Sn是等差数列{an}的前n项和且Sp=Sq（p≠q）,则Sp+q=.解析题设知d≠0.∴Sn是关于n的缺常数项的二次函数，其图象是由过原点的抛物线上的点构成.如图所示，又因抛物线对称轴方程为dnnnaSn2)1(1,)2(212ndand.0,2qpSqpx故05.设关于x的不等式（a-1）x的解集为A，且A{x|0x2},则a的取值集合是.解析为圆心，2为半径的半圆，而y=(a-1)x是过原点的直线束.问题转化为：0x2时，半圆在动直线上方，求此时a的值的集合.易得a-1≥1,即a≥2（图请读者自己画出）.24xxxxxyxxxy(,4),40(4222即则设)0,2(4),0,40(4)2222是以于是xxyyxy［2，+∞）6.（2009·山东）若函数f(x)=ax-x-a(a0,且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是.解析令g(x)=ax(a0，且a≠1)，h(x)=x+a,分0a1,a1两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若函数f(x)=ax-x-a有两个不同的零点，则函数g(x),h(x)的图象有两个不同的交点，根据画出的图象知只有当a1时符合题目要求.a1二、解答题7.已知方程sin2x+2sinxcosx+3cos2x+a=0有三个实数根，求a的取值范围.解原方程可化为2+sin2x+cos2x+a=0,即则原方程有三个实根等价于y=f(x)与y=-a-2有三个交点.由图象可得-1-a-2≤1,即-3≤a-1