【高中数学选修2-1】2.4.1抛物线及其标准方程

2.4.1抛物线及其标准方程生活中的抛物线彩虹喷泉桥拱球在空中运动的轨迹是抛物线。抛物线到底有怎样的几何特征？抛物线方程又有什么样的形式呢？复习回顾：我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征：在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.·MFl0＜e＜1(2)当e＞1时，是双曲线;(1)当0e1时,是椭圆;(其中定点不在定直线上)lF·Me＞1那么,当e=1时，它又是什么曲线？·FMl·e=1实验：点是定点，是不经过点的定直线。是上任意一点，过点作，与线段FH的垂直平分线m交于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？FMHLLLHF提炼问题：当e=|MF|∕|MH|=1时，即|MF|=|MH|，点M的轨迹是什么？LMFH几何画板观察HC问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH|，点M的轨迹是什么？探究？可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)M·Fl·e=1H我们把这样的一条曲线叫做抛物线.CM·Fl·e=1H在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线d为M到l的距离准线焦点d一、抛物线的定义:即:若1MFd,则点M的轨迹是抛物线.那么如何建立坐标系，使抛物线的方程形式更简单呢？解法一：以为轴，过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系（如下图所示）,取定点F到定直线L的距离为p,则定点设动点，由抛物线定义得：LyFLx(,)Fpo(,)Mxyxypx22)(化简得：222(0)pxpyp.M(X,y).xyOFl二、标准方程的推导不够简捷解法二：以定点为原点，过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点，的方程为FFLx(0,0)FLxp设动点，由抛物线定义得(,)Mxy22yxxp化简得：222(0)pxpyp二、标准方程的推导还是不够简捷l解法三：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.22()||22ppxyx两边平方,整理得xKyoM(x,y)F二、标准方程的推导设(,)Mxy,FKp,则焦点(,0)2pF,准线:2plx依题意得22(0)ypxp这就是抛物线的标准方程.比较理想三、标准方程把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.p的几何意义是:焦点坐标是(,,0)2p2px准线方程为:焦点到准线的距离.M(X,y).xyOFl三、标准方程把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.p的几何意义是:焦点坐标是(,,0)2p2px准线方程为:想一想:坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式如此简单？﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)焦点到准线的距离y2=-2px(p0)x2=2py(p0)准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(，2pyx2=-2py(p0))2p0(，2pyP的意义:抛物线的焦点到准线的距离方程的特点:(1)左边是二次式,(2)右边是一次式。四．四种建系方式的对比xOyF220ypxpxyOF220ypxpxFylO220xpypxylOF220xpyp四种方程形式相同点：（1）顶点为原点;（2）对称轴为坐标轴;（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，均为p/2.四种方程形式的不同点：（1）变量x(y)的幂次谁是一次，则焦点在谁上;（2）一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.即抛物线焦点位置及开口方向的判断方法：“焦点位置看幂次，开口方向看正负”22222222ypypxpxxpxyy+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下抛物线焦点位置及开口方向的判断“焦点位置看幂次，开口方向看正负”（以上方程p0）思考：二次函数的图像为什么是抛物线？2(0)yaxa221(0)yaxaxya110)44aa焦点（，准线y=-当a0时与当a0时，结论都为：12pa例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标及准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求抛物线的标准方程焦点F(,0)32准线：x=－32x2=－8y新知应用：所以，所求抛物线的标准方程是，焦点的坐标是可得，点A的坐标是，代入方程，得设抛物线的标准方程是，由已知条件例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。yxBFAo.解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。22(0)pxpy(0.5,2.4)220.52.4p5.76p即(2.88,0)211.52xy练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；14（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=012焦点坐标准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=24.“焦点位置看幂次，开口方向看正负”1.抛物线的定义:2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:每一对焦点和准线对应一种形式.3.p的几何意义是:焦点到准线的距离小结