求曲边梯形的面积

1.5.1曲边梯形的面积高二数学选修2-2第一章导数及其应用一,学习目标:1、掌握曲边梯形面积的求法.2、深刻理解化曲为直的思想.3、初步认识定积分的概念.二,重点:1、曲边梯形的面积2、化曲为直的思想3、定积分的概念三,难点:化曲为直的思想及定积分概念这些图形的面积该怎样计算？引入：情境创设金门大桥（美国）和曲线所围成的图形称为曲边梯形。曲边梯形的定义：由直线0),(,ybabxax)(xfy概念形成2xy案例探究1xyo如何求由直线与抛物线所围成的平面图形的面积S？2xy0,1,0yxx看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？BxAoy∟BxAoy∟思维导航不规则的几何图形可以分割成若干个规则的几何图形来求解魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?思维导航-----割圆术魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?思维导航-----割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到——刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?-----割圆术思维导航以“直”代“曲”无限逼近案例探究2xy1xyo如何求由直线与抛物线所围成的平面图形的面积S？2xy0,1,0yxx思考1：怎样“以直代曲”？能整体以“直”代“曲吗？思考2：怎样分割最简单？nininii,,2,1,1个区间为记第nninix11:长度y=x2xyO11、分割将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形这样[0,1]区间分成n个小区间：1,1,2,1,1,0nnnnn对应的小曲边梯形面积为△SininSSSSS211ininy=x2把底边[0,1]分成n等份,在每个分点作底边的垂线,1n2n1nn案例探究2()()iifnn2()()iifnn2、近似代替(以直代曲）方案.方案..方案…xyO11ininy=x2211()()iifnn方案….案例探究思考3：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？怎样使各个结果更接近真实值？深入思考•通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细，各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大，这就是一个求极限的过程。深入思考（2）近似代替(以直代曲）n1)n1i(x)n1i(fS2i于是图中曲线之下小矩形面积依次为222211121110,(),(),,(),nnnnnnnn（3）求和n12nii1nn2i1i12222222233SSSSSi-11i-11f()()nnnn11121110()()()1[012(n1)]n1(1)(21)6nnnnnnnnnnnn所有这些小矩形的面积的和为（4）取极限222233x0(n)111[012(n1)](n1)n(2n1)nn61111(1)(2)6nn3当分割无限变细，即亦即时，分割以曲代直求和取极限11S33所以，即所求曲边三角形的面积为。n000i1i-111111=limlimf()=lim(1)(2)nn63nxxxSSnn•（1）在分割时一定要等分吗？不等分影响结果吗？•（2）在近似代替时用小区间内任一点处的函数值影响结果吗？•（3）总结一般曲边梯形面积的表达式？两个结论1.在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。2.在近似代替时，用小区间内任一点处的函数值作为近似值，结果也是一样的。归纳概括一般曲边梯形的面积的表达式niinfnabS1lim分割近似代替求和取极限以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：OyxOyxOyxOyx即时小结学以致用积。求抛物线部分的断面面，的方程为假设上半部分的抛物线],1,0[xx-1y2oxy1求一个具体曲边梯形的面积一个案例两种思想方案一、方案二、方案三三个方案分割、近似代替、求和、求极限“以直代曲”和“无限逼近”思想四个步骤课堂小结•有位成功人士曾说过：“做事业的过程就是在求解一条曲线长度的过程。每一件实实在在的小事就是组成事业曲线的直线段。”想想我们的学习过程、追求理想的过程又何尝不是这样？希望大家能用微积分的思想去学习、去做事！