求极限的方法大全

第二节极限的概念一、数列的极限二、函数的极限三、无穷小及其性质四、极限的四则运算五、两个重要极限六、无穷大量、无穷小比较(TheConceptofLimits)一、数列的极限割圆术：（刘徽）1、概念的引入R截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”例,2,,8,4,2n,21,,81,41,21n}2{n}21{n,)1(,,1,1,11n})1{(1n,)1(,,43,34,21,21nnn})1({1nnn数列——定义在自然数集合的函数)(nfan整标函数2、数列极限的定义aannlim记作naa可以无限接近注意不一定能到达nana对于数列，当（即无限增大）时，（常数），则a称为的极限，aann二、函数的极限概述：函数的极限是指当x按某种规律变化，f(x)的变化趋势。axfx)(limx1、时函数的极限定义：当自变量的绝对值|x|无限增大时，)(xf如果函数（常数），则称a为axf)(x在时的极限，记作)()(xaxf或.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx.sin时的变化趋势当观察函数xxxxxysina例bxfx)(lim例211)()1(xxfxxfarctg)()2(1)(limxfx2π)(limxfx2π)(limxfx单侧极限axfx)(limaxfaxfxx)(lim)(lim且axfx)(limaxfxx)(lim00xx2、时函数的极限定义：当，若，则称axf)(0xx)(xf0xxa为在时的极限，记作.000的过程表示xxxxx0x0x0x考察函数f（x）=x2,当x→2时的变化趋势例x2.52.12.012.0012.0001...→2f(x)6.254.414.044.0044.0004...→4x1.51.91.991.9991.9999...→2f(x)2.253.613.963.9963.9996...→43.611.90yx242.14.412)(xxf注意：;)(0是否有定义无关在点函数极限与xxf4lim22xx例)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx求设两种情况分别讨论和分00xx,0xx从左侧无限趋近;00xx记作,0xx从右侧无限趋近;00xx记作yox1xy112xy3、单侧极限解左极限右极限axfaxfxx)0()(lim000或)1(lim)(lim0000xxfxx1axfaxfxx)0()(lim000或)1(lim)(lim20000xxfxx11)(lim0xfxaxfxx)(lim0axfaxfxxxx)(lim)(lim0000且两个单侧极限为是函数的分段点,0x左右极限存在且相等,注.lim0不存在验证xxxyx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x4、判别极限存在的法则法则1若在同一极限过程中，有下列关系)()()(21xfxfxfAxfxfxxxx)(lim)(lim2100且Axfxx)(lim0则法则2单调有界数列（函数）一定有极限三、无穷小量及其性质极限为零的变量称为无穷小。定义：例如,0sinlim0xx时的无穷小是当函数0sinxx,01limxx时的无穷小是当函数xx1无穷小是变量，不能与很小的数混淆;注意定理1判定定理：定理3有界变量或常数与无穷小的积是无穷小定理4有限个无穷小的和或积是无穷小axf)(lim0])([limaxf定理2若为无穷小，)(x|)(||)(|xx则也是无穷小)(x四、极限的四则运算定理.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(limBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设证.)(lim,)(limBxgAxf.0,0.)(,)(其中BxgAxf由无穷小运算法则,得)()]()([BAxgxf.)1(成立推论1推论2则存在若,)(limxfnnxxxx00lim)(lim)(limxfCxfC例1.531lim232xxxx求解)53(lim22xxx5lim3limlim2222xxxxx5limlim3)lim(2222xxxxx52322,03531lim232xxxx)53(lim1limlim22232xxxxxx.373123解例2.321lim221xxxx求.,,1分母的极限都是零分子时x.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小x)1)(3()1)(1(lim321lim1221xxxxxxxxx31lim1xxx.21)00(型(消去零因子法)例3.147532lim2323xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x)(型.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx.72(无穷小因子分出法)