322.共线向量与共面向量

2.共线向量与共面向量一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作ba//2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使baobba//),(,ba推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量叫做直线的方向向量.llaaOABPa若P为A,B中点,则12OPOAOBl为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是空间直线的向量表示式存在实数t，使，①其中向量a叫做直线l的方向向量．在l上取，则①式可化为．②①和②都称为空间直线的向量表示式．atOAOPABaOPOAtAB例1用向量的方法证明：顺次连结空间四边形各边中点所得的四边形为平行四边形。HGFEABCD例2已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，且，求的值.OPOAOB1.下列说法正确的是：A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：A.平面内的任意两个向量都共线B.空间的任意三个向量都不共面C.空间的任意两个向量都共面D.空间的任意三个向量都共面3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A.若，则P、A、B共线B.若，则P是AB的中点C.若，则P、A、B不共线D.若，则P、A、B共线OPOAtAB3OPOAABOPOAtABOPOAAB4.若对任意一点O，，则x+y=1是P、A、B三点共线的：A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件OPxOAyAB(1)APPB5.设点P在直线AB上并且，O为空间任意一点，求证：1OAOBOP二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。,abyx,Pxaybp,abOMabABAPp2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一实数对使推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有MPxMAyMBOPOMxMAyMB例3如图，已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC。OEkOAOFkOBOGkOCOHkODEFGHABCDO已知三个向量a、b、C不共面，并且p=a+b-c，q=2a-3b-5c。r=-7a+18b+22c，试问向量p、q、r是否共面?例4已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？(1)3OBOMOPOA＋－(2)4OPOAOBOM注意：空间四点P、M、A、B共面存在唯一实数对,,xyMPxMAyMB（）使得(1)OPxOMyOAzOBxyz其中，1.下列命题中正确的有：(1)pxaybpab　与、共面;(2)pabpxayb与、共面　；(3)MPxMAyMBPMAB、、、共面；(4)PMABMPxMAyMB、、、共面；A.1个B.2个C.3个D.4个练习2.对于空间中的三个向量它们一定是：A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线又不共面向量2MAMBMAMB、、－3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为：OMxOAOBOC11＋＋331.1.0.3.3ABCD2．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1CMNcbacAAbADaABDANACMABCDDCBA表示试用，设成的比为分成的比为分—平行六面体,,,,,2,21,111111若对n个向量a1，a2，…，an存在n个不全为零的实数k1k2，…kn，使得K1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1,a2，…，an为“线性相关”．依此规定，能说明a1=(1,0)，a2=(1,-1)，a3=(2，2)“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取(写出一组即可)c4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？212(1);555OPOAOBOC(2)22OPOAOBOC；三、课堂小结：1.共线向量的概念。2.共线向量定理。3.共面向量的概念。4.共面向量定理。1.P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是ΔPAB。ΔPBC，ΔPCD，ΔPDA的重心，求证：(1)E，F，G，H四点共面．(2)平面EFGH∥平面ABCD．