2.2.2椭圆的简单几何性质(最全)

2.2.2椭圆的简单几何性质复习：01:17:0421.椭圆的定义:到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是a2=b2+c20ba1byax2222焦点在x轴上12yoFFMx222cba椭圆的标准方程0ba1bxay2222焦点在y轴上222cbayo1FF2x..F1(-c，0)F2(c，0)F1(0，c)F2(0，-c)Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）椭圆的一般方程一、椭圆的范围即-a≤x≤a-b≤y≤b结论：椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．oxy-aab-b22222222111xyxyabab由和xayb即：和01:17:046YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）22221(0)xyabab关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称二、椭圆的对称性yOF1F2x二、椭圆的对称性结论：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形对称轴是x轴和y轴，对称中心是原点中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心8从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为对称中心。练习：1.已知点P(3，6)在上,则()22221xyab(A)点(-3,-6)不在椭圆上(B)点(3,-6)不在椭圆上(C)点(-3,6)在椭圆上(D)无法判断点(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在椭圆上C三、椭圆的顶点顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)令x=0,得y=？说明椭圆与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)2222xy+=1(ab0)ab令y=0,得x=？说明椭圆与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)三、椭圆的顶点长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？焦点落在椭圆的长轴上椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b。长轴：线段A1A2；长轴长|A1A2|=2a短轴：线段B1B2；短轴长|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c①a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；③焦点必在长轴上；②a2=b2+c2，oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a,0)A1(-a,0)bac椭圆的简单几何性质aF2F1|B2F2|=a；注意由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.小结：01:17:0414123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A1离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ce=a椭圆的离心率．,叫做四、椭圆的离心率[1]离心率的取值范围：因为ac0，所以0e1[2]离心率对椭圆形状的影响：1)c越接近a，e就越接近1，b就越小，椭圆就越扁观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？椭圆的形状有何变化2)c越接近0，e就越接近0，b就越大，椭圆就越圆3)c=0(即两个焦点重合）e=0，则b=a，椭圆方程变为x2+y2=a2（圆）即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。结论：离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆小试身手：2.说出椭圆的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:221916xy33,44xy28,26ab(0,7)(0,4),(3,0)练习：3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?22222(1)19161221610xxyxy222y+=1与；5y（）x+=1与。2根据：离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆练习1：比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？22222222(1)9361161229361610xyxyxyy与；（）x与。01:17:0420例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,108635(3,0)(5,0)(0,4)80分析：椭圆方程转化为标准方程为：2222162540012516xyxya=5b=4c=3oxyoxy它的长轴长是：。短轴长是：。焦距是。离心率等于：。焦点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：。练习1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为。3、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为。2221314、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=__________53[1]椭圆标准方程)0(12222babyax所表示的椭圆的存在范围是什么？[2]上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？[3]椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？[4]对称轴与长轴、短轴是什么关系？[5]2a和2b是什么量？a和b是什么量？[6]关于离心率讲了几点？回顾标准方程图象范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长焦距a,b,c关系离心率22221(0)xyabab22221(0)yxabab|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a关于x轴，y轴，原点对称（a,0）;(0,b)（b,0）;(0,a)(c,0)(0,c)长半轴长为a,短半轴长为b.焦距为2ca2=b2+c2a＞b0ac0ceaxyＯA2(a,0)A1(-a,0)B2(0,b)B1(0,-b)一个框，四个点，注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现．课堂小结用曲线的图形和方程)0(12222babyax来研究椭圆的简单几何性质1．椭圆的长轴长为，短轴长为，半焦距为，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为.(0,62)81922yx18662223(0,,9)(3,0)课前练习101:17:0426例2椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置椭圆的标准方程为：；11422yx椭圆的标准方程为：116422yx解：（1）当为长轴端点时，，，2a1b02，A（2）当为短轴端点时，,，2b4a02，A综上所述，椭圆的标准方程是或11422yx116422yx01:17:0427已知椭圆的离心率，求的值19822ykx21ek21e4k由，得：解：当椭圆的焦点在轴上时，82ka92b12kcx当椭圆的焦点在轴上时，92a82kbkc12y21e4191k45k由，得，即．∴满足条件的或．4k45k练习2：01:17:04281、在下列方程所表示的曲线中,关于x轴,y轴都对称的是()(A)(B)(C)(D)y4x20yxy2x2x5y4x224yx9222、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率，长轴长为6，则椭圆的方程为（）32e120y36x2215y9x2215922xy120y36x221203622xy(A)(B)(C)(D)15y9x22或或DC练习求经过点P(4,1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.255ab得：2221611abab2222若焦点在x轴上，设椭圆方程为:xy+=1(ab0)，ab依题意有：解：22xy故椭圆方程为:+=1.205练习求经过点P(4,1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.解：若焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为：222211.65205654xyyx或同理求得椭圆方程为：2241.6565yx12516..1251611625..11625..1169.2222222222yxDyxyxCyxByxA或复习练习：1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（）C例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：1.经过点P（－3,0）、Q（0，－2）；2.长轴的长等于20，离心率等于.53注意：焦点落在椭圆的长轴上注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上，必须讨论两种情况14922yx1100641641002222yxyx或练习2.离心率为,且过点(2,0)的椭圆的标准方程为多少?3222221;1.4416yxxy22.5510,5mxymem例1已知椭圆的离心率求的值。325m3或m36思考2:(课本例7)已知椭圆221259xy,直线45400xy,椭圆上是否存在一点,到直线l的距离最小?最小距离是多少?分析:设00(,)Pxy是椭圆上任一点,试求点P到直线45400xy的距离的表达式.000022454045404145xyxyd且22001259xy尝试遇到困难怎么办?作出直线l及椭圆,观察图形,数形结合思考.几何画板显示图形10:2222byaxCByAx，直线和椭圆方程分别为直线与椭圆的位置关系：共点。直线和椭圆相离，无公个公共点；直线和椭圆相切，有一个公共点；直线和椭圆相交，有两，则的判别式为若二次方程000010//2/2222cxbxabyaxCByAx则由yoF1F2xyoF1F2xyoF1F2x?,,12:,:122相离相交相切与椭圆直线为何值时当例yxmxylm5.已知椭圆的一个焦点为F（6，0）,点B，C是短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。6、已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程。x23x1124822yx193622yx.1416,023)2(;1425,025103112222yxyxyxyx）（交点坐标：、求下列直线和椭圆的一、直线和椭圆的位置关系通过直线方程和椭圆方程联立成方程组，解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。).3770,3748(,2,0)2(;5831）（），）（（2、弦长公式：mkxyyxf0)(，)0(02acbxaxy得：消去，则，，，弦端点设)()(2211yxByxA221221)()(||yyxxAB221221)()(kxkxxx||1212xxk2122124)(1xxxxkacabk4)(122||1||2akABmkxyyxf0)(，)0'(0'''2acybyax得：消去|'|11||2akAB的长。两点，求，直线与椭圆相交于的直线作倾斜角为的左焦点、经过椭圆ABBAlFyx,60123122)1(3:)0,1(11,211222xylFcba：解04127;12)1(3222xxyxxy得：由）（）（可求得交点坐标为：7623,7226,7623,7226728)764()724(22AB)1(3:)0,1(11,221222xylFcba：解04127;12)1(3222xxyxxy得：由747122121xxxx7284)(2)(2)(3)()()(21221221221221221221