[高二数学]数列极限

§２收敛数列的性质教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。1.唯一性定理每个收敛的数列只有一个极限.若数列na收敛，则它只有一个极限。一、数列极限的性质证,lim,limbaaannnn又设使得对于.,,021NN;21aaNnn时恒有当;22baNnn时恒有当,,max21NNN取时有则当Nn2axn22baaabann即.:ba的任意性由故极限唯一.2bxn由定义,2.有界性定理2.3收敛的数列必定有界.证,limaann设由定义,,1取,1,aaNnNn时恒有使得当则.11aaan即有},1,1,,,max{1aaaaMN记,,Mann皆有则对一切自然数.有界故na注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.3.保号性定理2.4若lim0nnaa（或0a），则对任何(0,)aa（或(,0)aa），存在正数Ｎ，使nN时有naa（或naa）。得当。aaaaaaNnNaaaaaannnn情形类似可证即有时使得当存在则对设证明00,)0,(,0,0lim'''4.保不等性定理2.5设数列na与nb均收敛，若存在正数0N使得当0nN时有nnab，则limlimnnnnab。，。，bbaaNnNNNNbabbbbNnbaaaaaNn，NNbababbaannnnnnnnnn与条件相矛盾时当取即时即时使当正整数则对若设证明)(21},,,max{);(21;,);(21;,;,0)(21,;lim,lim:2102121.lim,lim:),,2,1(01aaaanannnnn则若证明设例思考：如果把条件“nnab”换成“nnab把结论换成”，那么能否limlimnnnnab？}21{},1{nn例考虑数列.limaann故,limaann,,,0aaNnNNn恒有时使得当aaaaaannn从而有aaana证5.夹逼准则本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。设收敛数列na、nb都以a为极限，数列nc满足：存在正数0N，当0nN时有nnnacb则数列nc收敛，且limnnca.定理2.6,1aaNnn时恒有当},,max{21NNN取恒有时当,Nn,aaan即,2abNnn时恒有当,aban上两式同时成立,,abcaannn,成立即acn.limacnn证,lim,limabaannnn使得,0,0,021NN时当Nn注意:.,的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关nnnnbaba例2求数列的极限。}{nn上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限例3).12111(lim222nnnnn求解：记，这里，则有：左右两边的极限均为1，故由夹逼准则本例得证。nnnhna1)1(0nhn12111nhann解,11112222nnnnnnnn1111limlim2nnnnnn又1111lim1lim22nnnnn.1)12111(lim222nnnnn由夹逼定理得6、极限运算法则.0,lim)3(;lim)2(;)(lim)1(,lim,lim7.2BBAbaBAbaBAbaBbAannnnnnnnnnnnn其中则设定理cAcacAcacbnnnnn)(lim)(lim:时有为常数注nnnnn113lim例：求BbBBbBbAbBbabAaABbaBbAaBAbababababannnnnnnnnnnnnnnnnnnnn2211)()(1),(:分析解：由于,3)13(lim13limnnnnn1)11(lim1limnnnnn所以313113limnnnnn例：求65214lim22nnnn200204)652(lim)14(lim65214lim65214lim222222nnnnnnnnnnnnn解：0,lim00110110babnbnbananakkkmmmn例4求解:为非负整数时有和当kmba,0,000,,,,0,,11111limlim001010110110mkmkmkbanbnbbnanaanbnbnbananakkmmmknkkkmmmn当当当,1,1lim4aaannnn其中求例解：若1a则211limnnnaa若1a，则由0limnna有01001limlim1limnnnnnnnaaaa若1a1011)1(11lim1limnnnnnaaa，则lim(1)nnnn例5求解：由于11111)1(nnnnnnn1)11(limnn故111limnn从而211111111lim)1(limnnnnnn二数列的子列１子列的定义定义１设nakn为正整数集N的无限123knnnn12,,,,knnnaaa称为数列na的一个子列，简记为kna.子集，且注1na的子列kna的各项都来自na且保持这些项在na中的的先后次序,为数列，则数列knk故总有注2子列kna中的kn表示kna是na中的第kn项，k表示kna是kna中的第k项注3数列na本身以及na去掉有限项以后得到的子列，称为na的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为na平凡子列。的非数列na与它的任一平凡子列同为收敛或发散，时有相同的极限。且在收敛定理2.8数列na收敛na的任何非平凡子列都收敛。2子列与其本敛散性关系aaaaNnNkknaaNnN，aaaakkknknkknnnnnlim,,,,,0}{}{,lim即从而也有时更有故当由于有时当正数则的任一子列是设必要性证明.}{,7limlimlimlimlim,}{}{}{limlimlim,}{}{}{,};{},{},{}{12233612312363623263122收敛从而由上节例故同样可得的子列又是既是由于故由必要性的子列又是既是由于则由假设它们都收敛的非平凡子列考虑充分性证明nkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkknaaaaaaaaaaaaaaaaaaa若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而na注极限不相等，则数列一定发散。na如收敛于是1,})1{(2k})1{(12k收敛于是-1。故})1{(n发散例：证明}2{sinn证明：由于1214sin,022sinkk故}2{sinn的两个子列}22{sink收敛于0，}214{sink}2{sinn发散。发散。收敛于1。即数列作业P511(4),2