狭义相对论基础62

第六章狭义相对论基础§6.1力学相对性原理和伽利略变换§6.2狭义相对论的基本原理§6.3同时性的相对性和时间延缓§6.4长度收缩（运动的尺变短）§6.5洛伦兹变换(相对论坐标变换)§6.6相对论速度变换§6.7相对论质量动量和动力学基本方程§6.8相对论中质量动量和能量的关系uoxy若在一个惯性系中，物体沿其运动方向的长度比静止时缩短。22/cu1lll为棒在s系中的长度；l为该棒在s系中的长度；结论§6.4长度收缩(lengthcontraction)（运动的尺变短）y´x´A´B´o´s系相对于s系以速率u沿x轴运动，尺A´B´相对于s系静止，则一、长度测量的基本原理在某一参考系中测量棒的长度，就是测量它的两端点在同一时刻的位置之间的距离。1.静止棒的长度测量由静止的观测者用尺测量，与同时性无关。2.运动的棒的长度测量结论：根据爱因斯坦的观点，既然同时性是相对的，那么长度测量也必定是相对的。即测量其两端点在同一时刻的位置之间的距离。即静止长度可同时测量也可以不同时测量。运动棒的长度测量与参考系有关。x1t1时刻A´B´的位置二、长度测量与参考系的关系s´系的x´轴与s系的x轴重合，且沿x轴正方向以速度u运动。棒A´B´固定在x´轴上。在s´系中测棒A´B´长度，2.分析（1）设为l´。1.条件oxyy´x´A´B´o´ux1x2uoxyy´x´A´B´t1时刻A´B´的位置t1+Δt时刻A´B´的位置ux´y´A´B´oxyx1x2二、长度测量与参考系的关系2.分析（2）在s系中测棒A´B´长度设t1时刻棒的B´端经过x1,则t1+Δt时刻棒的B´端一定在x2=x1+uΔt处。故在s系中，棒长因Δt是B´和A´端相继通过x1这一点的两个事件之间的时间间隔，故Δt是固有时或称一地时。其中Δt由固定在x1点的一只钟测出。注意：t1+Δt时刻棒的A´端经过x1，tuxxl12二、长度测量与参考系的关系2.分析（3）在s´系看来，棒是静止的。oxyA´B´x1-ux1经过B´点x2x´y´A´B´oxyx1-ux1经过A´点式中Δt´是x1分别通过B´和A´两个点的时间间隔，是两地时，分别由固定在B´和A´两个点的两只钟测出。可见，在s系中测的棒长比在s´系中测的棒长要短些。故22/1cutt所以由于s系向左运动，x1这一点相继通过B´和A´这两事件之间的时间间隔若为t´,ult则tul又因22/1cutt22/1cuul22/cu1llult/y´x´（1）长度收缩在一个惯性系中，物体沿其运动方向的长度比静止时短的效应称作长度收缩。3.结论（2）固有长度(properlength)棒静止时测得的它的长度称作棒的静长或原长，也称固有长度。说明：（1）长度收缩是一种相对效应。在s系中测量相对于s´系静止的棒的长度收缩。同样在s´系中测量相对于s系静止的棒的长度也作同样的收缩。收缩因子仅仅与物体相对于观测者的运动速度有关。（1）（2）22/1cu22/1cu——22/cu1ll二、长度测量与参考系的关系——沿运动方向长度收缩（5）长度收缩只发生在平行于运动的方向上，在垂直于运动的方向上长度是不变的。（用火车钻洞假想实验说明。）收缩效应完全是由于不同的惯性系的相对运动而引起的测量结果的不同，是相对论的一种效应。而物体在物理上并没有什么变化。（3）（4）牛顿绝对空间观是相对论空间观的近似。当uc时,llcu1/122说明:22/1cull（因1）22/1cu（6）固有长度（静长）最长。l二、长度测量与参考系的关系22/cu1ll例6.3（P309）固有长度为5m的飞船以u=9×103m/s的速率相对于地面（视作惯性系）匀速飞行。从地面上测量，它的长度是多少？解：22/1cull依题意l´=5m是固有长度,25283)103(1)]103/()109[(15)(998999999.4])103(211[525m提示：幂级数展开式2214121211)1(xxx例6.4（P310）带正电的π介子是一种不稳定的粒子，很快就会衰变为一个μ介子和一个中微子。今产生一束π介子，在实验室中测得它的速率为u=0.99c，并测得它在衰变前通过的平均距离为52m。试从π介子束在其中静止的那个参考系来考虑π介子的平均寿命。解：从π介子的参考系看来，实验室的运动速率为u=0.99c实验室测得的距离l=52m，应为固有长度。从π介子的参考系中测量此距离应为)(3.799.0152/1222mcull而实验室飞过这一段距离所用的时间为这正好就是静止π介子的寿命。)(105.299.03.78scult（参照P306例6.2）伽里略变换爱因斯坦相对论时空观牛顿绝对时空观洛伦兹变换§6.5洛伦兹变换（相对论坐标变换）(LorentzcoordinateTransformation)22/cu-1ut-xxy=yz=z222/cu-1xcu-ttx=x-uty=yz=zt=t结论一、伽里略坐标变换(GalileocoordinateTransformation)有两个惯性系s和s´，时刻t在点P发生一个事件。s系：P出现于（）tzyx,,,s´系：P出现于（）tzyx,,,系：ss系：ss条件：Puutxoys系分析：则有：x=x-uty=yz=zt=tx=x+uty=yz=zt=t设t=t´=0时刻O与O´重合，s´沿x轴以速度u运动。S´系0´y´x´二、洛伦兹变换(LorentzCoordinateTransformation)条件：s系：P出现于()tzyx,,,分析1——在s系utxoys系P（x,y,z,t)22/1cuxx图a在S系中测量在s系中测量（图a）——时刻为t,但P点到y´轴间距离不等于x´，而是等于故有或——洛伦兹变换式（1）uoxyS´系P点的坐标等于oo´间距离ut加上P到y´轴间距离。x22/cu-1ut-xx22/cu1xutx有两个惯性参照系s和s´，s´沿x轴以速度运动。u设t=t´=0时刻o与o´重合，时刻t在点P发生一个事件。22/cu1x二、洛伦兹变换s´系：P出现于（）tzyx,,,分析2——在s´系则在该时刻utxoys系P（x,y,z,t)uoxs´系y22/1cuxx),,,(tzyxP22/1cuxx图a在S系中测量图b在S´系中测量在s´系中测量（图b）——时刻为t´，P点的坐标x´等于P到y轴间距离减去oo´间距离ut´yxoys系utuoxs´系但P点到y轴间距离不等于x，而是等于22/1cux故有tucuxx22/122/1cuutxx将代入上式并简化得——洛伦兹变换式（4）222/cu-1xcu-tt二、洛伦兹变换(LorentzCoordinateTransformation)分析3由于垂直于相对运动方向的长度测量与参考系无关，yyzz故有——洛伦兹变换式——空间坐标与时间坐标有关——时间坐标与空间坐标有关22/cu-1ut-xxy=y222/cu-1xcu-tt（4）（1）（2）（3）z=z结论二、洛伦兹变换说明：1/122cuutxx2.当uc时,tt与伽里略变换相比，洛伦兹变换中的时间（空间）坐标明显地与空间（时间）坐标有关。1.——时间、空间和物质运动三者彼此相关。普遍性（高速、低速）局限性（力学特例）（低速）可见Galileo变换是Lorentz变换在低速下的极限形式。Lorentz变换Galileo变换ucz=zy=y222/cu-1xcu-tt22/cu-1ut-xx说明：3.由知:若u≥c,则上式将没有物理意义。因此两参考系的相对速度不可能等于或大于光速。即任何两物体的相对速度都不可能等于或大于光速。基本的物理定律，包括电磁学和量子力学的基本定律，都在洛伦兹变换下保持不变。——根本性意义4.v2(×1016m2/s2)kE(Mev)1.56.09.01.03.05.0高能粒子加速实验加速电压提高至数百万伏时，eU=(1/2)mv2将失效。电子获得4.5Mev以上的能量时，电子的速率v几乎恒定不变。（电子加速）22/cu-1ut-xx二、洛伦兹变换(LorentzCoordinateTransformation)三、洛伦兹变换的逆变换公式22/1cutuxxyyzz222/1cuxcutt将洛伦兹变换中的u换为-u，带撇和不带撇的量对调，——洛伦兹变换——洛伦兹逆变换则有222/cu-1xcu-tt22/cu-1ut-xxy=yz=z四、引入β和γ后的洛伦兹变换公式则洛伦兹变换可写作若令cuβ2β11γ则洛伦兹逆变换可写作)(ctxxyyzz)(xctt)(tcxxyyzz)(xctt小结爱因斯坦的相对论时空观VS牛顿的绝对时空观（经典时空观）小结一、牛顿的绝对时空观（经典时空观）1.绝对时间：时间的量度与参考系无关。2.绝对空间：空间的量度与参考系无关。3.时间与空间是相互独立的。在一个惯性系中，运动的钟比静止的钟走的慢。1.时间延缓2.长度收缩在一个惯性系中，物体沿其运动方向的长度比静止时缩短。3.时间与空间不是相互独立的。22/cu-1tΔt二、爱因斯坦的相对论时空观22/cu1ll洛伦兹变换洛伦兹变换中的时间坐标明显地与空间坐标有关。洛伦兹变换中的空间坐标明显地与时间坐标有关。222/cu-1xcu-tt二、爱因斯坦的相对论时空观3.时间与空间不是相互独立的。（洛伦兹变换）三、牛顿绝对空间观是相对论空间观的近似。1.关于时间延缓22/cu-1tΔt当uc时,ttcu则1/1222.关于长度收缩22/cu1ll当uc时,llcu则1/12222/cu-1ut-xx例6.5（P313）解：222212/1/1culcuxxl用洛伦兹变换式验证长度收缩公式——2212221222112222/1)(/1/1/1cuttucuxxcuutxcuutx遵照测量运动的棒的长度时，棒的两端的位置必须同时记录的规定，要使x2-x1=l表示在s系测得的棒长，变必须有t1=t2，这样，上式就给出22/1cull即12xxl12xxl由洛伦兹变换知,22/cu-1ut-xx22/cu1ll设在s´系中沿x轴放置一静止的棒，则其长度例6.7（P315）问：北京和上海直线相距1000km，在某一时刻从两地同时各开出一列火车，设有一飞船沿从北京到上海的方向在高空掠过，速率为u=9km/s。（2）宇航员观察到哪列火车先开？解：（1）宇航员测得的两列车开出的时间间隔是多少？北京上海syoxu选地面为s系，北京到上海方向为x轴正向，北京和上的坐标分别为x1和x2，如图。依题意，京沪两地的距离是)(10612mxxx而两列火车开出的时间间隔是012ttt（1）s´例6.7（P315）解：北京上海syox22122221221212/1)(/1)()(cuxxcucuxxcutttt)(10)103109(110)103(10972836283s以t1´和t2´分别表示从飞船上测得的从北京和上海发车的时刻，由洛伦兹变换可知这一结果表示，宇航员发现从上海发的车比从北京发的车早10–7s。（1）（2）us´结论xxxvcuuvv21)/(11222cuvcuvvxyy)