最新初高中衔接教材因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有十字相乘法、分组分解法、配方法、等等．1、提公因式法【例1】因式分解：4322323)()(2)())(2(1281xyyxyxyxcabba）（2.公式法把乘法公式反过来用,可以把符合公式特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2例.把下列各式分解因式（1）16a²-1(2)4x²-m²n²(3)—x²-—y²925116(4)–9x²+4解：1）16a²-1=(4a)²-1=(4a+1)(4a-1)解：2）4x²-m²n²=(2x)²-(mn)²=（2x+mn)(2x-mn)2ab2ab222aabb222aabb我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式我们称之为：运用完全平方公式分解因式例题：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y22233222yyxx223xy222首首尾尾=(首±尾)2请运用完全平方公式把下列各式分解因式：22222222144269344149615464129xxaaaammnnxxaabb22x原式23x原式221a原式23mn原式212x原式223ab原式请补上一项，使下列多项式成为完全平方式222222224221_______249_______3______414_______452______xyabxyabxxy2xy12ab4xyab4y3、十字相乘法1．2()xpqxpq型的因式分解22()()()()()xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq2()()()xpqxpqxpxqpq(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．特征：xx＋＋【例】因式分解：276xx（1）（2）21336xx16xx解：276[(1)][(6)]xxxx(1)(6)xx解：94xx21336(4)(9)xxxx22222222(4)2154+3(7)53656+1118xxxxxxxxyyxxyy（5）（6）y-7y+12（8）(9)232xx（1）（2）2215xx（3）练习应用：2+20xx2．一般二次三项式2axbxc型的因式分解大家知道，2112212122112()()()axcaxcaaxacacxcc．反过来，就得到：2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc．例1分解因式3x－10x＋32解：3x－10x＋32x3x－3－1－9x－x=－10x=(x－3)(3x－1)例2分解因式5x－17x－122解：5x－17x－1225xx＋3－4－20x＋3x=－17x=(5x＋3)(x－4)练习：22222222231-68+341535813159113215xxxxxxxxxxxxxxxxxx（1）2（2）2（3）4(4)4(5)6(6)5(7)4(8)6(9)18练习：将下列各式分解因式1、7x－13x＋622、－y－4y＋1223、15x＋7xy－4y224、10(x＋2)－29(x＋2)＋102答案(7x＋6)(x＋1)5、x－(a＋1)x＋a2答案－(y＋6)(y－2)答案(3x－y)(5x＋4y)答案(2x－1)(5x＋8)答案(x－1)(x－a)4.分组分解法将下列各式用分组分解法因式分解(a+b)2-a-b解原式=(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)因式分解-4yz+3x2-2xz+6xy解原式=(6xy-4yz)+(3x2-2xz)=2y(3x-2z)+x(3x-2z)=(3x-2z)(2y+x)因式分解-4yz+3x2-2xz+6xy解原式=(6xy-4yz)+(3x2-2xz)=2y(3x-2z)+x(3x-2z)=(3x-2z)(2y+x)解原式=(6xy+3x2)-(4yz+2xz)=3x(2y+x)-2z(2y+x)=(2y+x)(3x-2z)因式分解•练习5:ab-1+a-b解原式=a(b+1)-(b+1)=(b+1)(a-1)解原式=b(a-1)+(a-1)=(a-1)(b+1)练习1:把下列各式分解因式(1)4a2-b2+6a-3b;(2)9m2-6m+2n-n2;(3)x2y2-4+xy2-2y;(4)a2b2-c2+abd+cd;练习2：把下列各式分解因式(1)4a2+4ab+b2-1(2)c2-a2-2ab-b2(3)x2-4y2+12yz-9z2(4)a2b2-c2+2ab+122(1)2mnmnnm例题：因式分解拓展：多于四项的多项式的分组222(2)212xxyzyz22(3)69103025xxyyxy2222(4)abababab22(5)4424aabbab5、配方法【例】因式分解：2221616(2)44()xxxxyy222:(1)616(3)5(8)(2).xxxxx解22222(2)44(44)8xxyyxxyyy22(2)8(222)(222).xyyxyyxyy说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．