平面直角坐标系中的距离公式

1.5平面直角坐标系中的距离公式第1课时两点间的距离公式在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式；如果把这个问题拓展到平面直角坐标系内又如何来求两点间的距离呢？AB＝xB-xAxBxABA0(x1,y2)思考：A（-2，0），B（3，0）两点间的距离是多少？我们能得到什么结论？11223-1-1-2-20yxAB如图，A,B两点间的距离为53探究点两点间的距离公式OxyP2(x2,0)P1(x1,y)P2(x2,y)|x2–x1||x2–x1|P1(x1,0)2122121||()PPxxxx当y1=y2时,结论：思考：A（0，2），B（0，-2）两点间的距离是多少？我们能得到什么结论？112233-1-1-2-20yxAB如图，A,B两点间的距离为4OxyP2(0,y2)P1(x1,y1)P2(x1,y2)|y2–y1|P1(0,y1)|y2–y1|2122121||()PPyyyy当x1=x2时,结论：思考：已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如何求点P1和P2的距离|P1P2|？xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)O221||||PQyy121||||PQxxx2y2x1y1xoy21yxQ，111yxP，222Pxy，111222PxyPxy已知：，和，，22122121()()PPxxyy当y1=y2时，1221||PPxx当x1=x2时，1221||PPyy试求：P1，P2两点间的距离.两点间距离公式222121||()()ABxxyy22||OAxy特别地，点A（x，y）到原点（0，0）的距离为一般地，若两点A,B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则A,B两点间的距离公式为（1）（2）例1求下列两点间的距离：(1,0),(2,3)AB-(4,3),(7,1)AB-解:2222(1)213032.274135.ABAB直接利用公式求下列两点间的距离：(1）A(-3,0),B(2,0)(2)C(2,1),D(-5,1)(3)33(,2),(2,)22EF--答案：(1）5(2)7(3)2-62【变式练习】例2.已知ABCD的三个顶点是13(1,0),(1,0),(,)22ABC-,试判断ABCD的形状.解：如图,因为2213||(1)()122BC=-+=，2233||2,||()()322ABAC==+=,有222||||||ACBCAB+=，所以ABCD是直角三角形.xyOA(-1,0)B(1,0))23,21(C根据边的关系判断.···已知ABCD的三个顶点是(1,2),(3,4),(5,0)ABC,试判断ABCD的形状.解：因为22||(35)(40)25BC=-+-=，2222||(13)(24)22,||(15)(0)25,2ABAC=-+-==-+-=有||||ACBC=,所以ABCD是等腰三角形.【变式练习】例3.ABCD中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且22||||||||ABADBDDC=+?，求证：ABCD为等腰三角形.解：作AOBC^，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系如图.设(0,),(,0),(,0),(,0)AaBbCcDd.因为22||||||||ABADBDDC=+?,所以，由距离公式可得2222()()badadbcd+=++--,即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).又0db-?,故bdcd--=-,即bc-=.所以|AB|=|AC|,即ABCD为等腰三角形.根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题，这种方法叫坐标法也称为解析法.用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：第一步:建立坐标系，用坐标系表示有关的量第二步：进行有关代数运算第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系【提升总结】1.已知点A（-2,-1），B（a，3）且AB=5，则a的值是（）A.1B.-5C.1或-5D.-1或5C2.已知点M（-1,3），N（5,1），点P（x，y）到M,N的距离相等，则点P（x，y）所满足的方程是（）A.x+3y-8=0B.3x-y-4=0C.x-3y+9=0D.x-3y+8=0B3.判定下列两点间的距离:(1)A（-3，1），B（5，1）.(2)A（1,-2）,B(1,7).(3)A(3,2),B(-1,5).4.已知ABCD的三个顶点是A(1,1),B(4,5),C(5,3),试判断ABCD的形状.|AB|=9|AB|=8|AB|=5解:|AB|=5,|BC|=,|AC|=,满足|AB|2=|AC|2+|BC|2，所以是直角三角形.255DABC1.x轴上A，B两点间的距离公式ABxxAB2.平面直角坐标系中，A（x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离公式212212)()(yyxxAB