【成才之路】高中数学-1.2-综合法和分析法课件-北师大版必修2-2

路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版•选修2-2成才之路·数学推理与证明第一章§2综合法和分析法第一章知能目标解读1知能自主梳理2学习方法指导3思路方法技巧4探索延拓创新5易错辨误警示6课堂巩固训练7课后强化作业8知能目标解读1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．了解分析法和综合法的思考过程和特点．2．明确分析法和综合法两种方法的证明格式和步骤，能够用这两种方法证明一些数学问题．本节重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点．本节难点：运用综合法和分析法解答问题．知能自主梳理1．从命题的_______出发，利用_____________________________________，通过_____推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．这样的思维方法称为综合法．说明：(1)综合法是“________”，其特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．(2)综合法的书写形式一般为：“因为……所以……”(或“∵…∴…”)或“⇒”．条件定义、公理、定理及运算法则由因导果演绎2．从求证的__________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的_________条件，直到归结为这个命题的________，或者归结为__________________等．这样的思维方法称为分析法．说明：(1)分析法是“__________”，其特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．(2)分析法的书写形式一般为：要证明……只需证明……即证明……得到一个明显成立的条件，所以结论成立．结论充分定义、公理、定理条件执果索因学习方法指导一、综合法1．对综合法的理解简言之，综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．由此可见，综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的结论成立．2．综合法的特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找“已知”的必要条件．二、分析法1．分析法的定义及其理解一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫分析法．可见分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法．2．分析法的特点从“未知”看“需知”，再逐步靠近“已知”．3．分析法与综合法的区别与联系(1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明方法就是综合法．4．选择综合法或分析法证明不等式(1)综合法是证明不等式的最基本、最常用的方法，由条件或一些重要不等式入手，难度不大的不等式证明多直接采用综合法，但对于比较复杂的不等式的证明还需要结合分析法等其他方法及技巧才能完成．(2)对于一些条件复杂、结论简单的不等式的证明经常用综合法；对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明常用分析法．5．用分析法证题时过程的写法(1)证明不等式时往往误用分析法，把“逆求”作“逆推”，分析法过程没有必要“步步可逆”，仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件．(2)用分析法证明时，要正确使用一些联结关联词，如“要证明”“只需证明”“即证”等．思路方法技巧综合法已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc3.[证明]由于a，b，c是全不相等的正实数，所以b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc＝ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc－32ba×ab＋2ca×ac＋2cb×bc－3＝6－3＝3，原不等式成立．[点评]综合法格式——从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”．(1)用综合法证明不等式，常对不等式的左端或已知条件施行恒等变形，其目的都是为了有效地利用有关的基本不等式．“变形”的形式很多，常见的是拆、并项，也可乘一个数或加上一个数等．(2)证题中常用不等式有以下几种形式：①a2≥0(a∈R)；②|a|≥0(a∈R)；③a2＋b2≥2ab(a，b∈R)及常用变形式．已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥13.[证明]∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2zx，∴(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(z2＋x2)≥2xy＋2yz＋2zx，∴3(x2＋y2＋z2)≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx，即3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴x2＋y2＋z2≥13.分析法已知α，β≠kπ＋π2(k∈Z)且sinθ＋cosθ＝2sinα，①sinθ·cosθ＝sin2β，②求证：1－tan2α1＋tan2α＝1－tan2β21＋tan2β.[分析]比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角θ，因此第一步可以从已知条件中消去θ，观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，于是①2－2×②得4sin2α－2sin2β＝1，把4sin2α－2sin2β＝1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论，统一函数名称，即把正切函数化为正(余)弦函数，把结论转化为cos2α－sin2α＝12(cos2β－sin2β)，再与4sin2α－2sin2β＝1比较，发现只要把cos2α－sin2α＝12(cos2β－sin2β)中的余弦转化为正弦就能达到目的．[解析]因为(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，所以将①、②代入上式，可得4sin2θ－2sin2β＝1，③另一方面，要证1－tan2α1＋tan2α＝1－tan2β21＋tan2β.即证1－sin2αcos2α1＋sin2αcos2α＝1－sin2βcos2β21＋sin2βcos2β即证cos2α－sin2α＝12(cos2β－sin2β)，即证1－2sin2α＝12(1－2sin2β)．即证4sin2α－2sin2β＝1，由于上式与③相同，于是问题得证．[点评]在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点转化条件，得到中间结论P，若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明．已知a0，1b－1a1.求证：1＋a11－b.[证明]要证1＋a11－b成立，只需证1＋a11－b只需证(1＋a)(1－b)1(1－b0)，即1－b＋a－ab1，∴a－bab，只需证：a－bab1，即1b－1a1.由已知a0，1b－1a1成立，∴1＋a11－b成立．探索延拓创新综合法或分析法证明不等式已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：1a－11b－11c－1≥8.[分析]这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和条件a＋b＋c＝1的合理应用．可用综合法和分析法两种方法证明．证法一：(综合法)：1a－11b－11c－1＝a＋b＋ca－1a＋b＋cb－1a＋b＋cc－1＝b＋ca·a＋cb·a＋bc＝b＋ca＋ca＋babc≥2bc·2ac·2ababc＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，所以不等式成立．证法二：(分析法)：要证1a－11b－11c－1≥8成立，只需证1－aa·1－bb·1－cc≥8成立．因为a＋b＋c＝1，所以只需证a＋b＋c－aa·a＋b＋c－bb·a＋b＋c－cc≥8成立，即b＋ca·a＋cb·a＋bc≥8，只需证b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bca·2acb·2abc≥8成立．而2bca·2acb·2abc≥8显然成立．∴1a－11b－11c－1≥8成立．[点评]综合法是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论；而在分析法中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实或已知．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过程：已知正实数a、b满足a＋b＝1，求2a＋1＋2b＋1的最大值．解：∵2a＋1·2≤2a＋12＋222＝a＋32，2b＋1·2≤2b＋12＋222＝b＋32，相加得2a＋1·2＋2b＋1·2＝2(2a＋1＋2b＋1)≤a＋b＋3＝4.∴2b＋1＋2b＋1≤22，等号在a＝b＝12时取得，即2a＋1＋2b＋1的最大值为22.请类比上题解法使用综合法证明下题：已知正实数x，y，z满足x＋y＋z＝2，求证：2x＋1＋2y＋1＋2z＋1≤21.[解析]∵2x＋1·73≤2x＋12＋7322＝x＋53，2y＋1·73≤2y＋12＋7322＝y＋53，2z＋1·73≤2z＋12＋7322＝z＋53，相加得(2x＋1＋2y＋1＋2z＋1)·73≤x＋y＋z＋5＝7，即2x＋1＋2y＋1＋2z＋1≤7·37＝21，等号在x＝y＝z＝23时取得．易错辨误警示已知a，b是正数，求证：a2＋b2a＋b2≥12.[误解]因为a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab，所以a2＋b2a＋b2≥2ab2ab2＝2ab4ab＝12.[正解]a2＋b2a＋b2＝a2＋b2a2＋b2＋2ab＝11＋2aba2＋b2.因为a，b是正数，所以a2＋b2≥2ab，所以2aba2＋b2≤1，得1＋2aba2＋b2≤2.所以11＋2aba2＋b2≥12，所以原不等式成立．[点评]误解证法用了“abcd⇒acbd”这个错误结论．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图像关于y轴对称，求证：f(x＋12)为偶函数．[误解]由函数f(x＋1)与f(x)的图像关于y轴对称，可知f(x＋1)＝f(－x)，令x＝1得f(2)＝f(－1)，即f(32＋12)＝f(－32＋12)，所以f(x＋12)为偶函数．[正解]由函数f(x＋1)与f(x)的图像关于y轴对称，可知f(x＋1)＝f(－x)．将x换成x－12代入上式可得f(x－12＋1)＝f[－(x－12)]，即f(x＋12)＝f(－x＋12)，由偶函数的定义可知f(x＋12)为偶函数．[点评]在证明f(x＋12)为偶函数时，以特殊值f(32＋12)＝f(－32＋12)成立就断定f(x＋12)为偶函数是错误的，函数的奇偶性是对定义域中任意的x定义的．特殊值的检验不能代替一般性的证明．课堂巩固训练[答案]D一、选择题1．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥02．要使3a－3b3a－b成立，a，b应满足的条件是()A．ab0且abB．ab0且abC．ab0且abD．ab0且ab或ab0且ab[答案]D[解析]3a－3b3a－b⇔a－b＋33ab2－33a2ba－b.∴3ab23a2b.∴当ab0时，有3b3a，即ba；当ab0时，有3b3a，即ba.3．(2014·济南模拟)设x，y，z0，则三个数yx＋yz，zx＋zy，xz＋xy()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2[答案]C[解析]假设这三