电路第五版第十三章

第十三章非正弦周期电流电路首页本章重点和信号的频谱非正弦周期信号13-1非正弦周期函数分解为傅里叶级数13-2有效值、平均值和平均功率13-3非正弦周期电流电路的计算13-4对称三相电路中的高次谐波*13-5傅里叶级数的指数形式*13-6傅里叶积分简介*13-72.非正弦周期函数的有效值和平均功率重点3.非正弦周期电流电路的计算1.周期函数分解为傅里叶级数返回13-1非正弦周期信号生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。非正弦周期交流信号的特点(1)不是正弦波(2)按周期规律变化)()(nTtftf下页上页返回例1-2示波器内的水平扫描电压。周期性锯齿波下页上页例1-1半波整流电路的输出信号。返回脉冲电路中的脉冲信号。Tt例1-3下页上页返回交、直流共存电路。例1-4+VEs下页上页返回13-2非正弦周期函数分解为傅里叶级数0()dTftt∞若周期函数满足狄里赫利条件：①周期函数极值点的数目为有限个。②间断点的数目为有限个。③在一个周期内绝对可积，即可展开成收敛的傅里叶级数注意一般电工里遇到的周期函数都能满足狄里赫利条件。下页上页返回直流分量基波（和原函数同频）二次谐波（2倍频）高次谐波)cos()(11m0kkktkAAtf)cos()(11m10tAAtf)2cos(21m2tA)cos(1mnntnA周期函数展开成傅里叶级数：下页上页返回)]sin()cos([)(1110tkbtkaatfkkk)sin()cos()cos(111mtkbtkatkAkkkk也可表示成0022mmmcossinarctan()kkkkkkkkkkkkAaAabaAbAba系数之间的关系为下页上页返回π2011π2011000)(d)sin()(π1)(d)cos()(π1d)(1ttktfbttktfattfTaAkkT求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。系数的计算：下页上页返回利用函数的对称性可使系数的确定简化①偶函数0)()(kbtftf0)()(katftf②奇函数③奇谐波函数0)2()(22kkbaTtftf注意－T/2tT/2f(t)O－T/2tT/2f(t)Otf(t)T/2TO下页上页返回周期函数的频谱图：幅度频谱1111753AkmOkω1相位频谱下页上页返回的图形1mkAk的图形1kk周期性方波信号的分解。例2-1解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为TtTTtIti2020)(mS2d1d)(1m02/0mS0ItITttiTITT直流分量：谐波分量：π20Sk)(d)sin()(π1ttktibk为偶数k为奇数πm0m01[cos()]2ππIktIkktT/2TSimIO下页上页返回0)sin(1π2)(d)cos()(π2π0mπ20StkkIttktiakπ2mk22kIbabAkkk（k为奇数）Si的展开式为])5sin(51)3sin(31)[sin(π22mmStttIIi下页上页返回ttt基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解下页上页返回基波直流分量直流分量+基波三次谐波直流分量+基波+三次谐波下页上页返回IS01Si3Si5Si下页上页IS01Si3Si5Si等效电源返回tT/2TSimIO])5sin(51)3sin(31)[sin(π22mmStttIIi矩形波的幅度频谱矩形波的相位频谱下页上页返回tT/2TSimIO1111753AkmOk1])5sin(51)3sin(31)[sin(π22mmStttIIi1111753kω1O-π/2kπ20π200)(d)cos(0)(d)sin(ttkttk13-3有效值、平均值和平均功率1.三角函数的性质①正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数②sin2、cos2在一个周期内的积分为。π)(d)(cosπ)(d)(sinπ202π202ttkttk下页上页返回0)()dsin()sin(0)(d)cos()cos(0)(d)sin()cos(π20π20π20ttptkttptkttptkpk③三角函数的正交性。下页上页返回2.非正弦周期函数的有效值)cos()(1m0kkktkIIti若则有效值:ttkIITttiTITkkkTdcos1d1201m002下页上页返回ttkIITITkkkdcos1201m0d)(cos102122mTkkkIttkITd102020TItIT0d)cos(2100TkttkIT0d)cos()cos(210mmTqqkkttqItkITqk下页上页返回21220kkmIII周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。222120IIII结论下页上页返回3.非正弦周期函数的平均值00d)(1IttiTIT其直流值为)cos()(1m0kkktkIIti若其平均值为TttiTI0avd)(1正弦量的平均值为898.0d)cos(10mavTIttITI下页上页返回4.非正弦周期交流电路的平均功率TtiuTP0d1)cos()(1m0ukkktkUUtu)cos()(1m0ikkktkIIti利用三角函数的正交性，得210100)(cosPPPIUIUPikukkkkkk下页上页返回平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率00111222coscosPUIUIUI结论下页上页返回13-4非正弦周期电流电路的计算1.计算步骤②对各次谐波分别应用相量法计算。（注意:交流各谐波的XL、XC不同，对直流C相当于开路、L相于短路。）①利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号。③将以上计算结果转换为瞬时值叠加。下页上页返回2.计算举例例4-1方波信号激励的电路，求u,已知：μs28.6Aμ157pF1000mH120TICLRm、、、解(1)方波信号的展开式为μs28.6,μA157mTI代入已知数据：下页上页返回])5sin(51)3sin(31)[sin(π22mmStttIIitT/2TSimIORLCuSi-+直流分量：μA5.78μA21572m0IIμA100μA14.357.122mm1II基波最大值：μA2051m1m5II五次谐波最大值：rad/s10rad/s1028.614.32π266T角频率：三次谐波最大值：μA3.3331m1m3II下页上页返回μA5.780SI电流源各频率的谐波分量为μA10sin10061StiμA103sin310063StiμA105sin510065Sti（2）对各次谐波分量单独计算：（a)直流分量IS0作用μA5.780SI电容断路，电感短路60S02078.510V1.57mVURI下页上页返回Ru-+IS0（b)基波作用μA)10sin(10061StiΩk1Ω1010Ωk1Ω10100010113611261LCkΩ50)(j)j()j()(1RCLRXXXXRXXRZCLCLCLXLR下页上页返回RLCuSi-+mV025000V01050210100)(3611s1ZIU(c)三次谐波作用6S3100sin(310)μA3itΩk3Ω101033Ωk33.0Ω1010001031313611261LC下页上页返回RLCuSi-+63s3110(3)33.3374.589.19V2UIZΩ19.895.374)(j)j)(j()3(33331CLCLXXRXXRZmV2.89247.12(d)五次谐波作用μA)105sin(510065StiΩk5Ω101055Ωk2.0Ω1010001051513611261LC下页上页返回RLCuSi-+Ω53.893.208)5(j)j)(j()5(55551CLCLXXRXXRZmV53.892166.4V53.893.20821020)5(615s5ZIU(3)各谐波分量计算结果瞬时值叠加mV)]53.895sin(166.4)2.893sin(47.12)sin(500057.1[5310tttuuuUu下页上页返回mV57.10UmV2.89247.123UmV0250001UmV53.892166.45U。]V)4π012cos(60)10cos(12030[:33ttu已知求电路中各表读数(有效值)，例4-2下页上页返回V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdA3A2V2V1A1a解(1)U0=30V作用于电路，L1、L2短路，C1、C2开路。I0=IL20=U0/R=30/30A=1A,IC10=0,Uad0=Ucb0=U0=30V下页上页返回aiiC1iL2L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdaIC10IL20L1C1C2L2+_30bcdU0I0(2)u1=120cos(1000t)V作用Ω40Ω102510111Ω10Ω101010Ω40Ω1040106321332331CCLL00cb1211UIILb并联谐振下页上页返回1U1I11CI21LIj40j40j40j10a+_30cdV01201UV012011adUUA903A40j0120j1111UCIC(3)u2=60cos(2000t+/4)V作用Ω20Ω1025200012121Ω20Ω101020002Ω,80Ω1040200026213231CCLL0122CII并联谐振下页上页返回2U2I21CI22LIj80j20j20j20a+_30cdV45602UV456002cb2ad2UUUA453A20j4560j22122LUILi=I0+i1+i2=1A所求电压、电流的瞬时值为iC1=IC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90)AiL2=IL20+iL21+iL22=[1+3cos(2000t45)]Auad=Uad0+uad1+uad2=[30+120cos(1000t)]Vucb=Ucb0+ucb1+ucb2=[30+60cos(2000t+45)]VA1I表A1的读数：2.12A2/3表A2的读数：A35.2)2/3(122表A3的读数：V90)2/120(3022表V1的读数：V0.52)2/60(3022表V2的读数：下页上页返回例4-3已知u(t)是周期函数，波形如图，L=1/2H，C=125/F，求理想变压器一次电流i1(t)及输出电压u2的有效