广西高考数学复习专题3三角3.3.2三角变换与解三角形课件

-1-正弦、余弦定理与三角形面积的综合问题例1在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.37解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=37a,所以由正弦定理得sinC=𝑐sin𝐴𝑎=37×32=3314.(2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×8×3×32=63.-2-解题心得正弦定理和余弦定理是解三角形时用到的两个重要定理,其作用主要是将已知条件中的边角关系转化为纯边或纯角的关系,使问题得以解决.-3-对点训练1在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2acosB=2c-b.(1)求角A;(2)若△ABC的面积为334,且a=3,请判断△ABC的形状,并说明理由.-4-解(1)由2acosB=2c-b及正弦定理,得2sinAcosB=2sinC-sinB.而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴2cosAsinB=sinB.在△ABC中,sinB≠0,故cosA=12.∵0Aπ,∴A=π3.(2)△ABC是等边三角形.理由如下:由(1)可知A=π3,∴sinA=32,∴S△ABC=12bcsinA=334.解得bc=3,由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2=6,解得c=3,b=3,∴△ABC是等边三角形.-5-例2已知在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC面积的2倍.(1)求sin𝐵sin𝐶;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.-6-解(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin𝐵sin𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐵=12.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,①AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.②因为cos∠ADB=-cos∠ADC,所以①+2×②得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.-7-解题心得对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为两个三角形来解三角形的问题,分别在两个三角形中列出方程,组成方程组,通过加减消元或者代入消元,求出所需要的量;对于含有三角形中的多个量的已知等式,化简求不出结果,需要依据题意应用正弦、余弦定理再列出一个等式,由此组成方程组通过消元法求解.-8-对点训练2在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acosB=3,bcosA=1,且A-B=,(1)求边c的长;(2)求角B的大小.π6解(1)acosB=3,a×𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=3,化为a2+c2-b2=6c,①bcosA=1,b×𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=1,化为b2+c2-a2=2c.②解由①,②组成的方程组得2c2=8c,即c=4.-9-(2)由(1)可得a2-b2=8.由正弦定理可得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=4sin𝐶,又A-B=π6,∴A=B+π6,C=π-(A+B)=π-2𝐵+π6,可得sinC=sin2𝐵+π6.∴a=4sin𝐵+π6sin2𝐵+π6,b=4sin𝐵sin2𝐵+π6.∴16sin2𝐵+π6-16sin2B=8sin22𝐵+π6,∴1-cos2𝐵+π3-(1-cos2B)=sin22𝐵+π6,即cos2B-cos2𝐵+π3=sin22𝐵+π6,∴sin2𝐵+π6=sin22𝐵+π6,∴sin2𝐵+π6=0或sin2𝐵+π6=1,B∈0,5π12,解得B=π6.-10-正弦、余弦定理与三角变换的综合例3在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.5-11-解(1)由asinA=4bsinB,及𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得a=2b.由ac=5(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=-55𝑎𝑐𝑎𝑐=-55.(2)由(1),可得sinA=255,代入asinA=4bsinB,得sinB=𝑎sin𝐴4𝑏=55.由(1)知,A为钝角,所以cosB=1-sin2𝐵=255.于是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=1-2sin2B=35,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=45×-55−35×255=-255.-12-解题心得三角形有三条边三个角共六个元素,知道其中三个(其中至少知道一条边)可求另外三个;若题目要求的量是含三角形内角及常数的某种三角函数值,在解题时往往先通过正、余弦求出内角的三角函数值再应用和角公式及倍角公式通过三角变换求得结果.-13-对点训练3(2018天津,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsinA=.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.acos𝐵-π6-14-解(1)在△ABC中,由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,可得bsinA=asinB.又由bsinA=acos𝐵-π6,得asinB=acos𝐵-π6,即sinB=cos𝐵-π6,可得tanB=3.又因为B∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acos𝐵-π6,可得sinA=37.因为ac,所以cosA=27,因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=437×12−17×32=3314.-15-正弦、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合例4在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足23acsinB=a2+b2-c2.(1)求角C的大小;(2)若bsin(π-A)=acosB,且b=2,求△ABC的面积.解(1)∵23acsinB=a2+b2-c2,∴23𝑐sin𝐵2𝑏=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏,∴23sin𝐶sin𝐵2sin𝐵=cosC,∴tanC=33,∴C=π6.-16-(2)∵bsin(π-A)=acosB,∴sinBsinA=sinAcosB,∴sinB=cosB,∴B=π4.根据正弦定理𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,可得2sin𝜋4=𝑐sinπ6,解得c=1,∴S△ABC=12bcsinA=12×2×1×sinA=22sin(π-B-C)=22sinπ4+π6=3+14.-17-解题心得在解三角形中,若已知条件是由三角形的边及角的正弦、余弦函数构成的,解题方法通常是通过正弦定理、余弦定理把边转化成角的正弦,使已知条件变成了纯粹的角的正弦、余弦函数关系,这样既实现了消元的目的,又可利用三角变换化简已知条件.-18-对点训练4如图,已知△ABC中,D为BC上一点,∠DAC=π4,cos∠BDA=-35,AC=42.(1)求AD的长;(2)若△ABD的面积为14,求AB的长.-19-解(1)∵cos∠BDA=-35,∴sin∠BDA=45,sinC=sin∠𝐵𝐷𝐴-π4=sin∠BDA·cosπ4-cos∠BDA·sinπ4=45×22+35×22=7210,由正弦定理得𝐴𝐶sin∠𝐴𝐷𝐶=𝐴𝐷sin𝐶,即4245=𝐴𝐷7210,得AD=7.(2)S△ABD=12·AD·BD·sin∠ADB=12·7·BD·45=14,得BD=5,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=49+25-2×7×5×-35=116,∴AB=229.