概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结

1概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结一、解题思路（一）解题思路思维导图（二）常见题型及解题思路1.正确读取统计图表的信息典例1：（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）.解题思路及步骤注意事项理解背景读懂题目所给的背景，理解统计图表各个量的意义对选项逐一判断对选项逐一判断，统计图表是否能得出该选项的结论，错误选项一般是概念错误、计算错误、以偏概全的错误等2A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，选A.2．古典概型概率问题典例2：（2018全国2卷理科8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A.B.C.D.解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.典例3：(2014全国2卷理科5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45解：设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则据条件概率公式得p=0.60.75=0.8，故选A.3．几何概型问题典例4：(2016全国1卷理科4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解题思路及步骤注意事项求基本事件总数m每个基本事件要求等可能，若是条件概率问题，在有条件则基本事件总数相对减少求事件A包含基本事件个数n确定A包含基本事件个数时要不重不漏代入公式求概率nmAP，事件A已经发生的条件下在事件B发生概率)()(AABAPABPABP解题思路及步骤注意事项求试验全部结果所构成区域长度（或面积或体积）明确表示实验结果的是一个变量、两个变量还是三个变量，它们分别用长度（或角度）、面积和体积来表示求构成事件A的区域长度（或面积或体积）确定构成事件A的区域长度（或面积或体积）代入公式求概率3解：如图所示,画出时间轴:小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中,而当他到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型,所求概率P=101040=12.选B.4．类似超几何分布的离散型随机变量分布列问题（古典概型求概率）5．类似二项分布的离散型随机变量分布列问题（频率估计概率，相互独立事件概率计算）典例5（超几何分布与二项分布辨析）：某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产的产品中随机抽取10件进行抽样检验，检测出有两件次品.（1）从这10件产品中随机抽取3件，其中次品件数为X，求X分布列和期望；（2）用频率估计概率，若所生产的产品按每箱100件装箱，从一箱产品中随机抽取3件，其中次品件数为Y，求Y分布列和期望;（3）用频率估计概率，从所生产的产品中随机抽取3件，其中次品件数为Z，求Z分布列和期望.分析：第（1）问中，抽取产品的总体N=10，所含次品件数M=2，都是明确的，所以该随机变量的分布为超几何分布。第（2）问是从一箱产品中抽取，产品的总体N=100是明确的，但其中有多少件次品M是不明确的，有的同学根据样本可认为M=20，但违背了题目中的“用频率估计概率”这一条件，或者说没有理解这句话的含义，本质上就是概率的定义没有理解。根据概率定义，“用频率估计概率”这一条件应理解为：从这100件产品中任意抽取1件产品，该件产品是次品的概率是0.2，同时抽取3件等同于不放回抽1件3次，由于每次的概率都是0.2，因此，可以看成独立重复实验，该随机变量的分布为二项分布。第（3）问是从所生产的全部产品中抽取，而全部产品有多少件题目条件没给出，这时总体N不明确（若总体N明确，就属于第（2）问情况），其中所含次品件数M自然也是不明确的。因此，类似的，在“用频率估计概率”这一条件，该随机变量的分布为二项分布。解：（1）x的可能取值为0，1，2，根据题意X～H(10、2、3)，所以x分布列为：)2,1,0(,210282kCCCkXPkk，6.01023XE（2）Y的可能取值为0，1，2，3，根据题意Y～B(3,0.2)，所以Y分布列为：)3,2,1,0(,2.012.033kCkYPkkk，6.02.03YE解题思路及步骤注意事项写出随机变量可能取值明确随机变量取每一个值的意义求出随机变量取每个值的概率“从M个不同元素中不放回抽取（或同时抽取）n个元素”类型概率问题，用古典概型求概率写出分布列检验所有概率之和是否等于1求数学期望若服从超级和分布nMNHX,,~，则可带入公式NMnxE快速求出解题思路及步骤注意事项写出随机变量可能取值明确随机变量取每一个值的意义求出随机变量取每个值的概率当有“把频率当成概率或用频率估计概率”条件时，“从M个不同元素中抽出n个元素”类型概率问题就变成相互独立事件的问题写出分布列检验所有概率之和是否等于1求数学期望若服从二项分布pnBX,~，则可带入公式npxE快速求出4（3）Z的可能取值为0，1，2，3，根据题意Z～B(3,0.2)，所以Z分布列为：)3,2,1,0(,2.012.033kCkZPkkk，6.02.03ZE以上分析用一个表归纳如下：抽取总体个数N总体中所含次品M个数随机变量分布类型明确明确超几何分布明确不明确二项分布不明确不明确二项分布从该例以看到，当NM保持不变，若N越大，每次不放回抽取，抽到次品的概率与NM相差越小，因此，当N很大时，超几何分布可以近似看成二项分布。典例6：据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3000人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人𝑦人社会人士500人𝑥人𝑧人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06．（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数𝑋的分布列和数学期望．解：（1）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06，∴，解得𝑥=60，∴持“无所谓”态度的人数为3000−2100−500−120−60=220，∴应在“无所谓”态度抽取220×3003000=22人．（2）由（1）知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生人数为120180×6=4，社会人士人数为60180×6=2，于是第一组在校学生人数𝑋的可能取值为1,2,3．𝑃(𝑋=1)=𝐶41𝐶22𝐶63=15,𝑃(𝑋=2)=𝐶42𝐶21𝐶63=35,𝑃(𝑋=3)=𝐶43𝐶20𝐶63=155即𝑋的分布列为：𝑋123𝑃153515∴𝐸𝑋=1×15+2×35+3×15=2．典例7（与函数结合）：（2018全国1卷理科20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.6．其他离散型随机变量分布列问题（频率估计概率，方案选择，随机变量取值意义，与其他知识结合）典例8（与函数结合）：（2107全国3卷理科18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？解题思路及步骤注意事项写出随机变量可能取值这类题重点考查是否理解随机变量取每一个值的意义求出随机变量取每个值的概率注意对随机变量所取的值表示多种的情况，多数情况由频率估计估计概率写出分布列检验所有概率之和是否等于1求数学期望通过数学期望进行决策最高气温1015，1520，2025，2530，3035，3540，天数2163625746解：（1）易知需求量x可取200,300,500，21612003035PX；3623003035PX；257425003035PX.则分布列为：X200300500P152525（2）①当200n≤时：642Ynn，此时max400Y，当200n时取到.②当200300n≤时：4122002200255Ynn880026800555nnn，此时max520Y，当300n时取到.③当300500n≤时，12220022002300230022555Ynnn320025n此时520Y.④当500n≥时，易知Y一定小于③的情况.综上所述当300n时，Y取到最大值为520.典例9（与数列结合）：（2019全国1卷理科21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若