倍角公式和半角公式

第六节倍角公式和半角公式点击进入相应模块二倍角公式点击进入相应模块tan()sin()一、复习和角公式：sincoscossincoscossinsintantan1tantancos()教学流程点击进入相应模块tan()sin()二、sincoscossincoscossinsintantan1tantancos()2sincossin222cossincos222tan1tantan2二倍角公式的推导点击进入相应模块二倍角的正弦、余弦、正切公式：2sincos22cossinsin2cos2使等式各部分均有意义三、新授内容：22tan1tantan2点击进入相应模块k22,注Zkk42tan1tan22tan正切公式成立的条件点击进入相应模块212sin22cos1（只含）cos（只含）sin22cossincos2余弦公式的另外两种形式点击进入相应模块复习回顾:二倍角的正弦、余弦、正切公式22cos2cossin22cos1212sin22tantan21tan,,+()224kRkkZsin22sincos点击进入相应模块降幂扩角公式：22121222coscoscossin升冪缩角公式：21cos2=2sin21cos2=2cos点击进入相应模块sin2sincos做填空游戏：在二倍角公式中22角你能得到角有什么关系？22、、二倍角单角半角点击进入相应模块点击进入相应模块2sin2————2cos2——————2tan2——————sin2————cos2——————tan2————思考探究1：你会α的三角函数表示下列各式吗？1cos21cos21cos21cos21cos1cos1cos1cos思考：根号前的符号怎么确定？22cos22cos112sin点击进入相应模块sin1costan21cossin求证：22sinsin1cos22tansin22sincoscos22222sincossinsin222tan1cos22coscos22思考探究2：证明1：点评：1、右到左证明2、变角、变式点击进入相应模块sin1costan21cossin求证：思考探究2：证明2：2sinsin.2cossinsin222tan==21+coscoscos.2cos2cos22222sinsin.2sin2sin1cos2222tan=2sinsincoscos.2sin222点评：1、左到右证明2、变角、变式点击进入相应模块半角公式：1cossin221coscos221costan21cossin1costan21cossin21cossin2221coscos2221costan21cos12、左右2、左二次降到右一次32、公式本质用角的余弦表示角的三角函数(3)用sinα，cosα表示tanα2.tanα2＝___________________.3．升、降幂公式主要用于化简、求值和证明．其形式为：升幂公式1＋cos2α＝_______，1－cos2α＝________.降幂公式cos2α＝_________，sin2α＝__________.sinα1＋cosα＝1－cosαsinα2cos2α2sin2α1＋cos2α21－cos2α2(2)判断下列公式及其变形是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)21coscos()221cossin()221costan2sin①②③()【解析】①根据公式可知根号下分子上应该是“+”，故错;②等号右边分子上应该是“-”，故错；③等号右边分子上应该是“-”，可以化简验证，故错.答案：①×②×③×(3)填空：①cos215°-sin215°=______.②2sin215°-1=______.【解析】①cos215°-sin215°=cos30°=②2sin215°-1=-cos30°=答案：3;23.23322①②1.(文)(教材改编题)2sin2α1＋cos2α·cos2αcos2α等于()A．tanαB．tan2αC．1D.12[答案]B[解析]2sin2α1＋cos2α·cos2αcos2α＝2sin2α1＋cos2α·1＋cos2α2cos2α＝tan2α.(理)(教材改编题)若sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α等于()A．－79B．－13C.13D.79[答案]A[解析]cos2π3＋2α＝cosπ－2π6－α＝－cos2π6－α＝2sin2π6－α－1＝－79.2．(2011·福建理，3)若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6[答案]D[解析]本题主要考查二倍角公式．由sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6，故选D.4.3－sin70°2－cos210°＝()A.12B.22C．2D.32[答案]C[解析]原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝3－sin70°3－cos20°2＝2·3－sin70°3－sin70°＝2，故选C.5．函数f(x)＝sin(2x－π4)－22sin2x的最小正周期是________．[答案]π[解析]f(x)＝sin(2x－π4)－22sin2x＝sin(2x－π4)－2(1－cos2x)＝sin(2x－π4)＋2cos2x－2＝sin2xcosπ4－cos2xsinπ4＋2cos2x－2＝22sin2x＋22cos2x－2＝sin(2x＋π4)－2，所以T＝2πω＝2π2＝π.6．化简2＋cos2－sin21的结果是__________．[答案]3cos1[解析]原式＝2＋2cos21－1－sin21＝2cos21＋1－sin21＝3cos21＝3cos1.7．已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最大值、最小值．[解析](1)f(x)＝cos4x－sin4x－2sinxcosx＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x＝cos2x－sin2x＝2cos2x＋π4，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)当cos2x＋π4＝1时，f(x)max＝2；当cos2x＋π4＝－1时，f(x)min＝－2.【变式备选】已知求的值.【解析】又故可知从而33cos(),,4522cos(2)42cos(2)cos2cossin2sin(cos2sin2),4442337,.22444Q3cos()0,45374,sin(),244454324cos2sin(2)2sin()cos()2().244552522sin2cos(2)12cos()243712().5252cos(2)(cos2sin2)422247312().2252550【满分指导】三角函数性质综合题的规范解答【典例】(12分)(2011·四川高考)已知函数(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知求证：［f(β)］2-2=0.73f(x)sin(x)cos(x),xR.4444cos(),cos(),550,2【解题指南】(1)把f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式；(2)利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得2cosβcosα=0，结合0αβ≤可得β=.【规范解答】…………………………………………………………………3分∴f(x)的最小正周期T=2π，f(x)的最小值为-2.…………………………………………………………………5分2273(1)f(x)sin(x2)sin(x)442Qsin(x)sin(x)2sin(x).444(2)由已知得两式相加得2cosβcosα=0.…………………………………8分…………………………………12分4coscossinsin,54coscossinsin,50,,22Q22f()24sin20.4［］1.(2011·大纲版全国卷)已知α∈(,π)，sinα=,则tan2α=________.【解析】由α∈(,π),sinα=，得cosα=-答案：25525525,52sin12tan4tan,tan2.cos21tan3432.(2011·重庆高考)已知且α∈(),则的值为______.【解析】由题意知sinα-cosα=两边平方可得sin2α=所以(sinα+cosα)2=1+sin2α=又α∈(),所以sinα+cosα=答案：1sincos,20,2cos2sin()41,23,47,40,27,222cos2cossin142(sincos).22sin()(sincos)421423.(2011·天津高考)已知函数(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈()，若f()=2cos2α,求α的大小.【解析】(1)由所以所以f(x)的定义域为f(x)的最小正周期为f(x)tan(2x),40,422xk,kZ42，kx,kZ.82k{xR|x,kZ},82.2(2)由得整理得因为所以sinα+cosα≠0,因此即由得所以即f()2cos22tan()2cos2,422sin()42(cossin),cos()4sincos2(cossin)(cossin)cossin，(0,)4，21(cossin),21sin22，(0,)4，2(0,),22,6.12