空间向量及其运算专题

空间向量编辑教师苏立艳11.空间向量及其加减与数乘运算：(1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量．长度相等且方向相同的有向线段表示同一向量或相等的向量．(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广．(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律：abba;加法结合律：()()abcabc;数乘分配律：()abab.2.共线向量与共面向量:(1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量.(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量．任意两个向量总是共面的．(3)共线向量定理：对空间任意两个向量(0),//abbab、的充要条件是存在实数使ab;推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式OPOAta.其中向量a叫做直线l的方向向量.(4)共面向量定理:如果两个向量,ab不共线,则向量p与向量,ab共面的充要条件是存在实数对,xy，使pxayb.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB或对空间任一定点O，有OPOMxMAyMB.3.空间向量基本定理：如果三个向量．．．．,,abc不共面．．．，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使pxaybzc.其中,,abc叫做空间的一个基底，,,abc都叫做基向量．推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z,使OPxOAyOBzOC(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD的三条棱，,,,ABbACcADd其中Q是△BCD的重心，则向量1()3AabcQ空间向量编辑教师苏立艳2用AAMMQQ即证.4.两个向量的数量积(1)向量,ab的数量积cos,;ababab(2)向量的数量积的性质:①cos,aeaae(e是单位向量)；②0;abab③22aa.(3)向量的数量积满足如下运算律:①交换律:abba;②与实数相乘的结合律()ab()ab=()ab;③分配律:()abcabac.注:向量的数量积不满足结合律即()()abcabc5.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用,,ijk来表示．在空间选定一点O和一个单位正交基底，如图，以点O为原点，分别以,,ijk的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，点O叫原点，向量,,ijk都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称xOy平面、yOz平面、z0x平面．作空间直角坐标系O—xyz时，一般使∠xOy=1350,∠yOz=900．对于空间任一向量a，由空间向量的基本定理知，存在唯一的有序实数组123,,aaa,使a123aiajak,有序实数组123,,aaa叫做a在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记为a=123(,,)aaa．对于空间任一点A，对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x，y，z，使OAxiyjzk，即点A的坐标为(,,)xyz.空间向量的直角坐标运算:设a=(a1,a2,a3),123(,,)bbbb，则①112233(,,)abababab,②123(,,)()aaaaR,③112233abababab④a∥112233,,()babababR312123aaabbb⑤1122330abababab⑥222123aaaaaa空间向量编辑教师苏立艳3(用到常用的向量模与向量之间的转化：2aaaaaa)⑦232221232221332211||||,cosbbbaaababababababa⑧设111222(,,),(,,)AxyzBxyz，则222111(,,)(,,)ABOBOAxyzxyz=212121(,,)xxyyzz这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．则222212121()()()ABdABABABxxyyzz，这就是空间两点间的距离公式．6.法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a,那么向量a叫做平面的法向量.法向量的用法：①利用法向量可求点到平面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A，则点B到平面的距离为||||ABnn.(实质是AB在法向量n方向上的投影的绝对值)②利用法向量可求二面角的平面角定理：设,mn分别是二面角l中平面,的法向量，则,mn所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小.二面角l的平面角cos||||mnarcmn或cos||||mnarcmn（m，n为平面，的法向量）.③直线AB与平面所成角sin||||ABmarcABm(m为平面的法向量).④异面直线12,ll间的距离||||CDndn(12,ll的公垂向量为n，CD、分别是12,ll上任一点，d为12,ll间的距离).(实质是CD在公垂向量n方向上的投影的绝对值)空间向量编辑教师苏立艳4基础训练1.判断题（）若，，，则、、共面。1pxaybxyRabp()（）（）若、、共面，则存在，，使。2abpxyRpxayb（）2.在以下四个式子中正确的有（）a+b·c，a·（b·c），a（b·c），|a·b|=|a||b|A.1个B.2个C.3个D.0个3.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（）A.{a+b，b－a，a}B.{a+b，b－a，b}C.{a+b，b－a，c}D.{a+b+c，a+b，c}4.已知向量a＝(－1，3，－2)，b＝(2，0，－2)，c＝(0，2，1)，m＝23abc，则m的模为()(A)133(B)137(C)12(D)135.如图，已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则AB+1()2BDBC等于()(A)AG(B)CG(C)BC(D)12BC6.若OA、OB、OC三个单位向量两两之间夹角为60,则|OA+OB+OC|＝()(A)6(B)6(C)3(D)37.已知a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则〈a，b〉=_____________.8A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=4，试求MN的长.___________9已知、、两两之间的夹角为°，模都为，求abcabc6012||.10.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则x=,y=.空间向量编辑教师苏立艳511.在四面体O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则OE=(用a,b,c表示).12已知四边形ABCD中，AB=a－2c，CD=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则EF=_____________13若A(－1，2，3)、B(2，－4，1)、C(x，－1，－3)是直角三角形的三个顶点，则x＝14(1,0,1),(4,4,6),(2,2,3),(10,14,17)ABCD这四个点是否共面_________.(注:共面填“是”,不共面填“否”)15.如图直角梯形OABC中，∠COA＝∠OAB＝2，OC＝2，OA＝AB＝1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.⑴求SCOB与的夹角的大小（用反三角函数表示）；⑵设(1,,),,:npqnSBC满足平面求①;n的坐标②OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）；③O到平面SBC的距离.⑶设(1,,).:krskSCkOB满足且填写①k的坐标为________.②异面直线SC、OB的距离为_______.（注：⑶只要求写出答案）空间几何中的向量方法16.如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求BN的长；高考资源网（2）求异面直线BA与1CB1的余弦值；（3）求证：A1B⊥C1M.C1A1B1BCA空间向量编辑教师苏立艳617.如图，在正四棱柱1111DCBAABCD中，已知2AB，,51AAE、F分别为DD1、BB1上的点，且.11FBDE（Ⅰ）求证：BE平面ACF；高考资源网（Ⅱ）求点E到平面ACF的距离.强化训练1.有4个命题：①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；③若MP=xMA+yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP=xMA+yMB.其中真命题的个数是.答案22如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（D）A.223B.23C.24D.133．在下列命题中：高考资源网①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示czbyaxp．其中正确命题的个数为（A）A.0B.1C.2D.34.下列是真命题的命题序号是.答案④①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量②若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反③若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD④若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB∥CD图9ABCDFE1A1B1C1D空间向量编辑教师苏立艳7参考答案基础训练11解：（1）正确。（）错。当与不共线时成立。2ab2A解析：根据数量积的定义，b·c是一个实数，a+b·c无意义.实数与向量无数量积，故a·（b·c）错，|a·b|=|a||b||cos〈a，b〉|，只有a（b·c）正确.答案：A3答案：C解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底，故选C4B5A6B7答案：45°834解：连结AM并延长与BC相交于E，连结AN并延长与CD相交于E，则E、F分别是BC及CD的中点.现在MN=AN－AM=32AF－32AE=32（AF－AE）=32EF=32（CF－CE）=32（21CD－21CB）=31（CD－CB）=31BD.∴MN=|MN|=31|BD|=31BD=34.9解：||()()abcabcabc2222||||||||||cos||||cos||||cosabcabbcac22242604604605||abc2510答案61-2311答案21a+41b+41c12新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆答案：3a+3b－5c13163或－11．14是15解：⑴如图所示：C（2,0,0），S（0,0,1），O（0,0,0），B（1,1,0）21010(2,0,1),(1,1,0)cos,,arccos5552SCOBSCOB⑵①(1,1,1),(1,1,