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全等三角形之辅助线(习题)例题示范例1:已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AB边上一点,AD=AC,过点D作DE⊥AB,交BC于点E.求证:CE=DE.【思路分析】①读题标注:EDBCA②梳理思路:要证CE=DE,考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等,利用全等三角形对应边相等来证明.观察图形,发现不存在全等的三角形.结合条件,AC=AD,∠C=∠ADE=90°,考虑连接AE,证明△ACE≌△ADE.【过程书写】证明:如图,连接AE∵DE⊥AB∴∠ADE=90°∵∠C=90°∴∠C=∠ADE在Rt△ACE和Rt△ADE中AEAEACAD(公共边)(已知)∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL)∴CE=DE(全等三角形对应边相等)巩固练习1.已知:如图,B,C,F,E在同一条直线上,AB,DE相交于点G,且BC=EF,GB=GE,∠A=∠D.求证:DC=AF.过程规划:1.描述辅助线:连接AE2.准备条件:∠C=∠ADE=90°3.证明△ACE≌△ADE4.由全等性质得,CE=DEEDBCAEDBCA2.已知:如图,∠C=∠F,AB=DE,DC=AF,BC=EF.求证:AB∥DE.3.已知:如图,AB∥CD,AD∥BC,E,F分别是AD,BC的中点.求证:BE=DF.DGCABEF过程规划:FEBADCFEBADC过程规划:4.已知:如图,在正方形ABCD中,AD=AB,∠DAB=∠B=90°,点E,F分别在AB,BC上,且AE=BF,AF交DE于点G.求证:DE⊥AF.5.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC与BD相交于点O,过O作EF交AD于点E,交BC于点F,则图中的全等三角形共有()GFEDCBAFCBOEDAA.5对B.6对C.7对D.8对6.如图,C为线段AB上一点,△MAC和△NBC均是等边三角形,连接AN,交CM于点E,连接BM,交CN于点F.有下列结论:①∠AMB=∠ANB;②△ACE≌△MCF;③CE=CF;④EN=FB.其中正确结论的序号是_________________.NMEBAFC思考小结1.根据本章知识结构图回答下列问题:对应边___________;对应角___________.性质判定一般三角形全等判定:_________________________________直角三角形全等判定:_________________________________应用全等三角形全等图形(1)补全知识结构图.(2)要证明两条边相等或者两个角相等,可以考虑它们所在的三角形________;如果所在的三角形不全等或者不在三角形中,则可以把一条边转移或者重新整合条件去构造全等三角形.(3)要证明两个三角形全等需要准备______组条件,这三组条件里面必须有______;然后依据判定进行证明,其中AAA,SSA不能证明两个三角形全等,请举出对应的反例.(4)由全等三角形的性质可知:全等三角形__________相等,__________相等,所以全等关系是转移边和角的有力工具.【参考答案】巩固练习1.证明:如图,过点G作GH⊥BE于点HHFEBACGD∵GH⊥BE∴∠GHB=∠GHE=90°在Rt△GHB和Rt△GHE中,GBGEGHGH(已知)(公共边)∴Rt△GHB≌Rt△GHE(HL)∴∠B=∠E(全等三角形对应角相等)∵BC=EF∴BC+CF=EF+CF即BF=EC在△ABF和△DEC中,ADBEBFEC(已知)(已证)(已证)∴△ABF≌△DEC(AAS)∴DC=AF2.证明:如图,连接BECDABEF在△AEF和△DBC中,AFDCFCEFBC(已知)(已知)(已知)∴△AEF≌△DBC(SAS)∴AE=DB(全等三角形对应边相等)在△ABE和△DEB中,AEDBABDEEBBE(已证)(已知)(公共边)∴△ABE≌△DEB(SSS)∴∠ABE=∠DEB(全等三角形对应角相等)∴AB∥DE3.证明:如图,连接BDCDABEF∵AB∥CD,AD∥BC∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD在△ABD和△CDB中,ABDCDBBDDBADBCBD(已证)(公共边)(已证)∴△ABD≌△CDB(ASA)∴AD=CB(全等三角形对应边相等)∵E,F分别是AD,BC的中点∴DE=BF在△BED和△DFB中,DEBFADBCBDBDDB(已证)(已证)(公共边)∴△BED≌△DFB(SAS)∴BE=DF(全等三角形对应边相等)4.证明:如图,ABCDEFG图7图图312在△DAE和△ABF中ADBADAEBAEBF(已知)∠∠(已知)(已知)∴△DAE≌△ABF(SAS)∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)∵∠DAB=90°∴∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°∴∠AGD=90°∴DE⊥AF5.B6.②③④思考小结1.(1)SAS,SSS,ASA,AASSAS,SSS,ASA,AAS,HL相等;相等.(2)全等(3)3,边;AAA反例:大小三角板;SSA反例:作图略(4)对应边,对应角.
本文标题:全等三角形之辅助线(习题及答案)
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