您好,欢迎访问三七文档
有限元分析雷刚重庆理工大学教学内容有限元法的基本思想和基本步骤直杆受自重拉伸问题有限元数学模型有限元分析软件概述有限元法在结构分析中的应用介绍教学目的了解:有限元分析软件、有限元法在结构分析中的应用重点:有限元法的基本思想有限元法的基本步骤绪论一、有限元方法简介有限元方法也叫“有限单元法”或“有限元素法”,英文是:“FiniteElementMethod”。这种方法最初起源于结构分析,由结构力学的位移法发展而来。1956年美国航空工程师Turner和Clough为分析飞机结构,将结构力学的矩阵位移法原理推广到弹性力学的平面问题,获得巨大成功,分析结果与实验数据非常吻合。之后Clough又用这种方法处理了一些复杂的平面弹性力学问题并于1960年首次提出“有限单元法”这个名词。有限元的基本思想就是分片逼近。)(xfybadxxf)(xy例如:要计算以下定积分从定积分的定义出发,可以将曲线分成若干小段,用若干矩形面积之和作为近似解,如果在小段内用简单函数逼近曲线,在有限范围内结果精度可以得到显著提高。早期的有限元法是建立在虚位移原理或最小势能原理基础上的,这对于人们理解有限元法的物理概念是很有帮助的。后来一些学者又提出一些新的变分原理和广义变分原理,并相继出现一些适应性更强、计算精度更高的新型单元模型,如:应力混合单元、杂交单元、.杂交/混合单元和广义协调单元等等。近50年来有限元方法已经有了巨大的发展,其应用领域已从单一的结构分析扩展到温度场分析、电磁场分析、流体流速场分析及声场分析等许多领域。本课程主要介绍有限元方法在结构分析中的应用。其分析问题的类型已从最初的线性稳态问题,如:平衡问题、特征值问题等,发展到稳态响应问题、瞬态响应问题、非线性问题及多介质的耦合问题,如:振动响应问题、碰撞问题、塑性成形问题、声固偶合问题及流体与固体偶合问题等等。随着力学理论、计算数学和计算机技术等相关学科的发展,有限元理论也得到不断完善,成为工程分析中应用十分广泛的数值分析工具,特别是在现代机械工程、车辆工程、航空航天工程、土建工程中发挥着越来越大的作用,是现代CAE技术的核心内容之一。自由度(DOFs)自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs结构位移热温度电电位流体压力磁磁位方向自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ二、有限单元法的概念节点和单元(1)节点:空间中的坐标位置,具有一定自由度和存在相互物理作用。单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述(称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成,单元之间通过节点连接,并承受一定载荷。载荷载荷节点和单元(2)每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体,单元形成了整体结构的数学模型。尽管梯子的有限元模型低于100个方程(即“自由度”),然而在今天一个小的FEA分析就可能有5000个未知量,矩阵可能有25,000,000个刚度系数。历史典故早期FEA是随计算机硬件而发展壮大的。FEA最早是在1966年发布的,运行在价格为$1,000,000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机上,它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解5000×5000的矩阵系统,而过去则需要几天时间。节点和单元(3)信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递(需进行节点合并处理)具有公共节点的单元之间存在信息传递...AB........AB...1node2nodes节点和单元(4)节点自由度是随连接该节点单元类型变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ单元形函数(1)•FEA仅仅求解节点处的DOF值。•单元形函数是一种数学函数,规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。•因此,单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。•单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。•单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近(不理想结果).2单元形函数(2)节点单元DOF值二次分布..1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果)..4单元形函数(3)遵循:•DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解,但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。•这些平均意义上的典型解是从单元DOF推导出来的(如,结构应力,热梯度)。•如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOF,就不能很好地得到导出数据,因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。单元形函数(4)遵循原则:•当选择了某种单元类型时,也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。•在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下,必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。有限元法的分类位移法:以节点位移为基本未知量;力法:以节点力为基本未知量;混合法:一部分以节点位移为基本未知量,一部分以节点力为基本未知量。有限元法的基本思想对弹性区域离散化将单元内任一节点位移通过函数表达(位移函数)建立单元方程进行单元集成,在节点上加外载荷力引入位移边界条件进行求解求解得到节点位移根据弹性力学公式得到单元应变、应力通过材料力学求解和有限元求解进行比较例:等截面直杆在自重作用下的拉伸图(a)单位杆长重量为q,杆长为L,截面面积为A,弹性模数为ELxL-xL3L3L30udxXNNNx(a)(b)(c)图2-1EAqa252EAqa282EAqa2923La材料力学方法求解直杆拉伸:图(b)---位移法考虑微段dx,内力N=q(L-x)dx的伸长为x截面上的位移:根据几何方程求应变,物理方程求应力。这里应变应力EAx)dxq(LEAN(x)dxΔ(dx))2x(LxEAqEAx)dxq(LEAN(x)dxu2x0x0X)(LEAqdXduεxX)(LAqEεσxx有限单元法求解直杆拉伸:1L2LiL1iL+1图2-2nn-1i+1ii-12iL1iL+图2-3i+1ii-12)LL(q1ii++1、离散化2、外载荷集中到结点上,即把投影部分的重量作用在结点i上有限单元法求解直杆拉伸:3、假设线单元上的位移为线性函数iL图2-4ii-1Xux1ix1iu)x(uiu)XX(Luuu)x(uu1ii1ii1i+i1iixLuudXduε)Luu(EEi1iiii)Luu(EAANi1iiii)Luu(EAN1ii1i1i+++有限单元法求解直杆拉伸:4、以i结点为对象,列力的平衡方程令将位移和内力的关系代入得iN1iN+图2-5i2)LL(q1ii++0Fx2)LL(qNN1ii1ii+++1iiiLL+1)-(2L)11(EA2quu)1(u2ii1iiii1-i++++用结点位移表示的平衡方程,其中i=1,2,…n有n个方程未知数也有n个,解方程组,得出结点位移,进而计算应力有限单元法求解直杆拉伸:假设线单元数为3个的情况,平衡方程有3个:i=1时,i=2时,i=3时,联立解得aL1aL3aL20u1u2u3u0123图2-6221aEAquu22321aEAquu2u+232aEA2quu+EAqa25u21EAqa28u22EAqa29u23与材料力学的精确解答在结点处完全相同有限单元法的基本思路:(1)把物体分成有限大小的单元,单元间用结点相连接。(2)把单元结点的位移作为基本未知量,在单元内的位移,设成线性函数(或其它函数),保证在单元内和单元间位移连接。(3)将结点的位移与结点的力联系起来。(4)列出结点的平衡方程,得出以结点位移表达的平衡方程组。(5)求解代数方程组,得出各结点的位移,根据结点位移求出各单元中的应力。有限单元法的基本未知量是结点位移,用结点的平衡方程来求解。三、汽车有限元方法的主要应用车身有限元分析主要用来研究车身结构及零部件以性能:1、静力学分析(静强度与刚度分析)。2、特征值分析(固有频率与模态分析)3、稳定性分析(整体与局部的屈曲失稳分析)4、耐久性分析(疲劳与断裂分析)5、舒适性分析(振动与噪声分析——声振偶合)6、安全性分析(碰撞分析——非线性顺态响应)7、板成形分析(冷冲压成形工艺性)四、结构分析的目的1、克服传统设计方法的不足。以往的设计大都是基于经验的,基于经验的设计在以往的产品开发中取得了巨大的成功,但也存在一些不足,一般只能解决行不行的问题,很难解决优不优的问题,并且经验的积累需要时间,有时也不可靠。2、评价设计、优化设计。尽管为了解决结构优化的问题,也有人提出了一些新的设计理念,如减法设计原则。解决上述问题的根本手段就是采用合理的、科学的方法对上述性能进行分析。五、数值分析与实验分析的比较分析方法可分为理论计算和实验两大类。1、基于实验的分析方法指通过的实验测试获取需要的性能参数的方法。这种方法获取不同的性能参数需要采用不同的测试方法、仪器设备和辅助实验装置。如:强度实验,可以采用电阻应变片及应变仪、光弹涂膜或云纹栅、应变涂料等;扭转与弯曲刚度实验则需要专门的实验台等等。实验方法的最大优点是结果真实可靠,通常被当作产品最终定型的权威性依据。实验方法也存在不足:1)实验一定要在样品或样机试制之后才能进行,成本高、周期长,并且只适合批量生产的产品。2)可以获得的数据量有限,无法对设计提供更多的指导,更无法进行结构优化。3)受实验手段的限制,有些参数无法测准。2、基于理论计算的分析方法指通过理论分析或数值计算获取所需的性能参数的分析方法,目前在结构领域应用最广泛的就是“有限元方法”,也是我们要重点研究内容,与实验方法相比,理论计算方法的优点是显而易见的:1)经济、快捷,成本低、周期短。(与实验相比)2)一次分析可以获得大量的数据。3)可以与设计同步进行。4)可以配合优化算法,对设计进行优化。目前主要的问题是,对于复杂问题分析精度不易控制,分析结果受模型质量影响较大,算法本身也存在一定缺陷。六、有限元结构(静力)分析的基本过程有限元结构(静力)分析过程分成7步1、结构离散化将结构或零件人为地划分成有限个子域(这些子被称做单元),假定单元之间通过有限个点相互连接(这些连接点被称做节点),如图1。某重型自卸车桥壳有限元模型CarModelofBodyinWhite车灯有限元模型悬架橡胶衬套有限元模型煤矿液压支架结构有限元模型2、选择插值函数在单元内选择一个简单的位移插值函数,将单元内任意点的位移表示为节点位移的插值形式,并整理成式1格式。其中:——单元内任意点的位移,——单元形函数矩阵,——单元节点位移向量。}].{[}{eQNu}{u][N}{eQ3、单元分析推导单元刚度矩阵和等效节点载荷向量][eK}{eP4、整体分析组集单元矩阵形成整体方程。5、约束处理引入边界条件,消除刚体位移,使方程具有唯一解。6、方程求解求解方程,获得未知节点位移。7、计算应力由节点位移计算单元应变,再根据虎克定律,计算单元应力。
本文标题:第一讲有限元绪论
链接地址:https://www.777doc.com/doc-3990907 .html