高三数学一轮复习必备精品：曲线方程及圆锥曲线的综合问题

2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料第35讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题一．【课标要求】1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3．了解圆锥曲线的简单应用二．【命题走向】近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。预测2010年高考：1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问三．【要点精讲】1．曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步骤含义说明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2．圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：实际问题模型的解数学模型方程讨论方程的解翻译回去建立坐标系转化成数学问题（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题四．【典例解析】题型1：求轨迹方程例1．（1）一动圆与圆22650xyx外切，同时与圆226910xyx内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线2219xy有动点P，12,FF是曲线的两个焦点，求12PFF的重心M的轨迹方程。解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)Mxy，半径为R，设已知圆的圆心分别为1O、2O，将圆方程分别配方得：22(3)4xy，22(3)100xy，当M与1O相切时，有1||2OMR①当M与2O相切时，有2||10OMR②将①②两式的两边分别相加，得21||||12OMOM，即2222(3)(3)12xyxy③移项再两边分别平方得：222(3)12xyx④两边再平方得：22341080xy，整理得2213627xy，所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627xy，轨迹是椭圆（法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12xyxy，由以上方程知，动圆圆心(,)Mxy到点1(3,0)O和2(3,0)O的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为1(3,0)O、2(3,0)O，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，∴26c，212a，∴3c，6a，∴236927b，∴圆心轨迹方程为2213627xy。（2）如图，设,PM点坐标各为11(,),(,)PxyMxy，∴在已知双曲线方程中3,1ab，∴9110c∴已知双曲线两焦点为12(10,0),(10,0)FF，∵12PFF存在，∴10y由三角形重心坐标公式有11(10)103003xxyy，即1133xxyy。∵10y，∴0y。已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3)(3)1(0)9xyy即所求重心M的轨迹方程为：2291(0)xyy。xy1O2OP点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法例2．(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F和2F,椭圆G上一点到1F和2F的距离之和为12.圆kC:0214222ykxyx)(Rk的圆心为点kA.(1)求椭圆G的方程(2)求21FFAk的面积(3)问是否存在圆kC包围椭圆G?请说明理由.解（1）设椭圆G的方程为：22221xyab（0ab）半焦距为c;则21232aca,解得633ac,22236279bac所求椭圆G的方程为：221369xy.(2)点KA的坐标为,2K12121126326322KAFFSFFV（3）若0k，由01215210120622可知点（6，0）在圆kC外，若0k，由01215210120)6(22可知点（-6，0）在圆kC外；不论K为何值圆kC都不能包围椭圆G.题型2：圆锥曲线中最值和范围问题例3．（1）（2009辽宁卷理）以知F是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.【答案】9（2）（2009重庆卷文、理）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若椭圆上存在一点P使1221sinsinacPFFPFF，则该椭圆的离心率的取值范围为．【解析1】因为在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPFF则由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaexPFaex则00()()aaexcaex记得0()(1)()(1)acaaexecaee由椭圆的几何性质知0(1)(1)aexaaee则，整理得2210,ee解得2121(0,1)eee或，又，故椭圆的离心率(21,1)e【解析2】由解析1知12cPFPFa由椭圆的定义知212222222caPFPFaPFPFaPFaca则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,aPFacacccaca则既所以2210,ee以下同解析1.【答案】21,1（3）（2009四川卷理）已知直线1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是（）A.2B.3C.115D.3716【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。【解析1】直线2:1lx为抛物线24yx的准线，由抛物线的定义知，P到2l的距离等于P到抛物线的焦点)0,1(F的距离，故本题化为在抛物线24yx上找一个点P使得P到点)0,1(F和直线2l的距离之和最小，最小值为)0,1(F到直线1:4360lxy的距离，即25|604|mind，故选择A。【解析2】如图，由题意可知22|3106|234d【答案】A点评：由△PAF成立的条件||||||||PAPFAF，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出||||||||PAPFAF这一关键结论例4．（1）（2009江苏卷）（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)Mmm的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为()fm，求()fm关于m的表达式。（2）(2009山东卷文)（本小题满分14分）设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amxy,向量(,1)bxy,ab,动点(,)Mxy的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知41m,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知41m,设直线l与圆C:222xyR(1R2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解（1）因为ab,(,1)amxy,(,1)bxy,所以2210abmxy,即221mxy.当m=0时,方程表示两直线,方程为1y;当1m时,方程表示的是圆当0m且1m时,方程表示的是椭圆;当0m时,方程表示的是双曲线.(2).当41m时,轨迹E的方程为2214xy,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt,解方程组2214ykxtxy得224()4xkxt,即222(14)8440kxktxt,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使△=2222226416(14)(1)16(41)0ktktkt,即22410kt,即2241tk,且12221228144414ktxxktxxk22222222