1.1 简单旋转体

探究：观察下面的实物图片,这些图片中的物体具有怎样的形状?它们可以抽象出怎样的几何图形？1.旋转体(1)概念：一条____________绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的_________叫作旋转面；_______________围成的几何体叫作旋转体．(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．平面曲线曲面封闭的旋转面下列不是旋转体的是()A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球面D球面：以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面就叫做球面。球体：我们把球面所围成的几何体就叫做球体。球体简称为球；区别：球面指表层；球含内部；2、球C球的表示：用表示球心的字母表示球，如图中的球体表示为球O.半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；直径：连接球面上任意两点并且过球心的线段叫做球的直径；球心：半圆的圆心叫做球心；C球的相关概念用一个平面去截一个球，截面是圆面。如图，设球心O，截面圆心为O1,球的半径R，截面圆半径r，OO1=d，则：M1ooRrd（1）球心与截面圆圆心的连线OO1垂直于截面圆；注：OO1的长度也叫球心O到截面圆的距离（2）22rRd（3）到球心的距离相等的截面圆相等（4）离球心越远，截面圆越小；离球心越近，截面圆越大。球的截面性质在球面上，两点之间最短连线的长度，是经过这两点的大圆在两点间的劣弧的长度，称这段劣弧的长度为这两点的球面距离；OPQ球面距离3、圆柱、圆锥、圆台名称定义相关概念图形表示圆柱以___________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的______所围成的几何体叫作圆柱．高：在_________上这条边的长度；底面：垂直于_______的边旋转而成的_____；侧面：______________的边旋转而成的曲面；母线：不论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线.矩形的一边曲面旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴名称定义相关概念图形表示圆锥以直角三角形的___________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的______所围成的几何体叫作圆锥．高：在旋转轴上这条边的长度；底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面；侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面；母线：不论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线.一条直角边曲面名称定义相关概念图形表示圆台以直角梯形_________________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆台.高：在旋转轴上这条边的长度；底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面；侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面；母线：不论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线.垂直于底边的腰曲面例1、一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？题型一、旋转体的概念及结构特征解：如图所示，图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥，如图(1)′、(2)′；图(3)旋转一周得到的几何体是两个圆锥拼接而成的几何体，如图(3)′；图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体(图略)，旋转360°，旋转轴左侧直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内，如图(4)′.变式训练1.下列表述中正确的是()A．直角三角形绕一条边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线C解：此题主要考查各种旋转体的概念及结构特征．要严格按照定义，明确各种旋转体的实质特征．A项错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在的直线旋转得到的是两个同底面圆锥构成的一个几何体，如图(1)．B项错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(2)．D项错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(4)．C项正确，如图(3)．例2、下列说法正确的是()A．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面B．圆台的上、下底面圆周上任两点的连线即圆台的母线C．球和圆柱的截面一定是圆面D．以直角三角形的一边为轴，其余两边旋转所得曲面围成的几何体是圆锥题型二、球、圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征A解：由圆柱、圆锥、圆台定义可知，三者分别为矩形、三角形、直角梯形旋转而得，所以其上、下底面都是圆面，故正确；B圆台的母线是直角梯形不垂直于旋转轴的边，不是上、下底面圆周上任意两点的连线，故错误；C球的截面一定是圆，用平行于圆柱底面的面截圆柱得到的截面是圆，其他平面截得的截面不是圆，故错误；D以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转，其余各边旋转而成的旋转面形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥，以斜边为轴旋转形成的不是圆锥，故错误．变式训练2.下列有四种说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③圆台的任意两条母线延长后都相交，但不一定相交于同一点．④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中，正确的是()DA．①②B．②③C．①③D．②④例3、一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．题型三、旋转体中有关元素的计算问题解：如图圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，点O1、O分别为上、下底面中心，连接OO1.延长BA，CD，OO1，交于点S.(1)过点A作AM⊥BC于点M，∵上底面面积为4πcm2，下底面面积为25πcm2，∴上底面半径O1A＝4ππ＝2cm，下底面半径OB＝25ππ＝5cm，在Rt△ABM中，BM＝OB－O1A＝5－2＝3cm，AB＝12cm，所以，AM＝AB2－BM2＝122－32＝315cm，即圆台的高为315cm.(2)设截得此圆台的圆锥SO的母线长为lcm，则由△SAO1∽△SBO得：l－12l＝25，解得l＝20cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.解：如图，设AK为截面圆的半径，则OK⊥AK.在Rt△OAK中，OA＝5cm，OK＝4cm，∴AK＝OA2－OK2＝52－42＝3(cm)，∴截面圆的面积为π·AK2＝9π(cm2)．变式训练3、用一个平面截半径为5cm的球，球心到截面距离为4cm，求截面圆的面积题型四、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图例4、如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋2π2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．变式训练4、圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为()A．10cmB．52π2＋4cmC．52cmD．5π2＋1cmB解:如图(1)所示，四边形ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5cm.设圆柱的底面圆半径为r，则r＝52(cm)，所以底面圆的周长为l＝2πr＝5π(cm)．将圆柱沿母线AD剪开后平放在一个平面内，如图(2)所示，则从A到C的最短距离即为图(2)中AC的长．由于AB＝l2＝5π2(cm)，BC＝AD＝5(cm)，所以AC＝25π24＋25＝52π2＋4(cm)．