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《直角三角形》分层练习◆基础题一、基础题1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是()A.120°B.90°C.60°D.30°2.下列命题中,是真命题的是()A.相等的角是对顶角B.两直线平行,同位角互补C.等腰三角形的两个底角相等D.直角三角形中两锐角互补3.如图,点P是∠BAC内一点,PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F,PE=PF,则直接得到△PEA≌△PFA的理由是()A.HLB.ASAC.AASD.SAS4.如图,已知AD是△ABC的边BC上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是()A.AB=ACB.∠BAC=90°C.BD=ACD.∠B=45°5.由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是()A.∠A=37°,∠C=53°B.∠A-∠C=∠BC.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶56.(2017·平顶山市宝丰县期中)下列条件不能判断两个直角三角形全等的是()A.两条直角边分别对应相等B.斜边和一个锐角分别对应相等C.两个锐角对应相等D.斜边和一直角边分别对应相等7.如图,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,AC⊥CD,求四边形ABCD的面积.8.如图所示,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证:∠B=∠C.◆能力题二、训练题1.(2017·安徽)直角三角板和直尺如图放置.若∠1=20°,则∠2的度数为()A.60°B.50°C.40°D.30°2.下列各组数中,以它们为边长的线段能构成直角三角形的是()A.2,4,5B.6,8,11C.5,12,12D.1,1,23.△ABC中,若,则此三角形为()三角形.A、等腰B、直角C、等腰直角D、等边4.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于F,若BF=AC,则∠ABC的大小是()A、40°B、45°C、50°D、60°5.两个直角三角形全等的条件是()(A)一锐角对应相等;(B)两锐角对应相等;(C)一条边对应相等;(D)两条边对应相等.6.有一块边长为24米的正方形绿地,如图所示,在绿地旁边B处有健身器材,由于居住在A处的居民践踏了绿地,小明想在A处树立一个标牌“少走▇米,踏之何忍?”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是().(A)25米(B)8米(C)5米(D)6米7.等腰直角三角形的斜边长为a,则其斜边上的高为()A.a23B.a2C.2aD.a428.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时,该船在处测得某灯塔位于它的北偏东30°的处(如图),上午9时行到处,测得灯塔恰好在它的正北方向,此时它与灯塔的距离是_________海里(结果保留根号).AB2476题图9.(2017·成都)如图,数轴上点A表示的实数是__________.10.下列命题中,其逆命题成立的是__________.(只填写序号)①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角是直角,那么它们相等;③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④如果三角形的三边长a,b,c(c为最长边)满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.11.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为52和4,则直角三角形的两条直角边的和是_________.12.已知⊿ABC中,∠A=90°,角平分线BE、CF交于点O,则∠BOC=_________.13.如图,在等腰直角三角形ABC中,AD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC,则△DEF是___________三角形.14.如图,点D,A,E在直线l上,AB=AC,BD⊥l于点D,CE⊥l于点E,且BD=AE.若BD=3,CE=5,则DE=___________.15.如图所示,AD⊥BE于点C,C是BE的中点,AB=DE,求证:AB∥DE.16.(2016·益阳)如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.17.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在边AB上,使DB=BC,过点D作EF⊥AC,分别交AC于点E,交CB的延长线于点F.求证:AB=BF.18.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.19.已知,如图,⊿ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是BC边上的中点,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:ED⊥FD◆提升题三、提升题1.观察下列勾股数组:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…;a,b,c.你能发现什么规律,根据你发现的规律,请写出:(1)当a=19时,则b,c的值是多少?(2)当a=2n+1时,求b,c的值.你能证明所发现的规律吗?2.有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.DABCEF参考答案:一、基础题1.D2.C3.A4.A5.C6.C7.解:∵AC⊥CD,CD=12,AD=13,∴AC=AD2-CD2=132-122=5.又∵AB=3,BC=4,∴AB2+BC2=32+42=52=AC2.∴∠B=90°.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB·BC+12AC·CD=12×3×4+12×5×12=6+30=36.9.证明:∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵∠AED=∠AFD=90°,AD=AD∴∆AED≌∆AFD(AAS)∴DE=DF又∵BD=CD∴Rt∆BED≌Rt∆CFD(HL)∴∠B=∠C二、训练题1.C2.D3.C4.B5.D6.D7.C8.2039.5-110.④11.1012.135°13.等腰直角14.815.证明:∵AD⊥BE,∴∠ACB=∠DCE=90°.∵C是BE的中点,∴BC=EC.在Rt△ABC和Rt△DEC中,AB=DE,BC=EC,∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL).∴∠A=∠D.∴AB∥DE.16.解:在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x.由勾股定理,得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,故152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.∴AD=AB2-BD2=152-92=12.∴S△ABC=12BC·AD=12×14×12=84.17.证明:∵EF⊥AC,∴∠F+∠C=90°.∵∠A+∠C=90°,∴∠A=∠F.又∵DB=BC,∠FBD=∠ABC,∴△FBD≌△ABC(AAS).∴AB=BF.18.解:(1)证明:∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中,AE=CF,AB=CB,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2)∵AB=CB,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF=∠BAE=15°.∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.19.连接AD∵AB=AC,D是BC的中点∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=45°又∵∠A=90°∴∠B=∠C=45°∴∠B=∠BAD=∠CAD=45°∴BD=AD又∵BE=AF∴∆BED≌∆AFD∴∠BDE=∠FDA∴∠BDE+∠EDA=∠FDA+∠EDA=90°∴DE⊥DF三、提升题1.解:(1)当a=19时,设b=k,则c=k+1,观察有如下规律:192+k2=(k+1)2.解得k=180.故b=180,c=181.(2)当a=2n+1时,设b=k,则c=k+1,根据勾股定理a2+b2=c2得(2n+1)2+k2=(k+1)2,解得k=2n(n+1).∴b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1.证明:∵a2+b2=(2n+1)2+[2n(n+1)]2=4n4+8n3+8n2+4n+1,[2n(n+1)+1]2=4n4+8n3+8n2+4n+1,∴a2+b2=c2.∴(2n+1)2+[2n(n+1)]2=[2n(n+1)+1]2.2.解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,由勾股定理有AB=10.扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD,应分以下三种情况:①如图1,当AB=AD=10时,可求CD=CB=6.得△ABD的周长为32m.②如图2,当AB=BD=10时,可求CD=4.由勾股定理,得AD=45.得△ABD的周长为(20+45)m.如图③,当AB为底时,设AD=BD=x,则CD=x-6,由勾股定理,得x=325.得△ABD的周长为380m.
本文标题:北师大版八年级数学下册-同步练习题直角三角形
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