异面直线所成的角的求法.

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系习题课问题一：异面直线的判定例1.已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l()•A．与m、n都相交•B．与m、n中至少一条相交•C．与m、n都不相交•D．与m、n中的一条直线相交•例2.已知点P、Q、R、S分别是正方体的四条棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()例3．如图，已知α∩β＝a，b⊂α，c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线．异面直线的证明:(1)反证法，假设两直线共面，随后导出矛盾，故两直线异面．(2)过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线(异面直线判定定理)．问题二：求异面直线所成的角预备知识角的知识正弦定理a=2RsinAa=2RsinASABC=21bcsinA余弦定理ABCbcacosA=bcacb2222ABCbca二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.方法：3.步骤：求异面直线所成的角：①作（找）②证③点④算1.数学思想：平移构造可解三角形例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4(1)求直线BA1和CC1所成的角的大小(2)若M，N分别为棱A1B1和B1B的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值.A1B1C1D1ABCDMNPQBQ=1BN=2QN=5QC=17NC=52Cos∠QNC=522222NCQNQCNCQN例5、在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：①异面直线AD与EF所成角的大小；②异面直线B’C与EF所成角的大小；③异面直线B’D与EF所成角的大小.4560②异面直线B’C与EF所成角的大小；6090OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角.平移法补形法例6空间四边形SABC中，SA=SB=SC=AB=BC=CA，E、F分别是SA、BC中点，则异面直线EF与SC所成的角900S是正△ABC所在平面外一点，SA=SB=SC且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°，M，N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角。ASBCMNPMABCPNPBaaaa2a22a42a22a26a46a414a42a414a25510cosPNB例7.四棱锥A－BCD中，AD＝1，AC＝32，BC＝3，BD＝132，AD⊥BC，则AC与BD所成的角为________．三例8.•例9．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为________•例、10由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体．如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，CF与DE是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线CF、DE的平行线，找出异面直线CF与DE所成的角．[解析]思路1：选取平面ACD，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF，②该平面与DE相交于点D，伸展平面ACD，在该平面中，过点D作DM∥CF交AC的延长线于M，连结EM.可以看出：DE与DM所成的角，即为异面直线DE与CF所成的角．如图1.•思路2：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF，②该平面与DE相交于点E.在平面BCF中，过点E作CF的平行线交BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角，即为异面直线FC与ED所成的角．如图2.•思路3：选取平面ADE，该平面有如下两个特点：①该平面包含直线DE，②该平面与CF相交于点F.在平面ADE中，过点F作FG∥DE，与AE相交于点G，连结CG，可以看出：FG与FC所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角．如图3.•思路4：选取平面BCD，该平面有如下特点：①该平面包含直线DE，②该平面与CF相交于点C，伸展平面BCD，在该平面内过点C作CK∥DE与BD的延长线交于点K，且DK＝BD，连结FK，则CF与CK所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角．如图4.•总结评述：(1)上面四个思路的共同点是：由两条异面直线中的一条与另一条上一个点确定一个平面，在该平面内过该点作该直线的平行线，从而找出两条异面直线所成的角，这是立体几何“化异为共”“降维”的基本思想．•(2)求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角．值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置．一般提倡像思路2、思路3那样作角，因为此角在几何体内部，易求．•(3)找出异面直线所成的角后求角的大小．一般要归到一个三角形中，通过解三角形求出角的大小，如本题思路1中可归结为解△DEM.思路2中可归结为解△DEN等等，由于本例中三角形是斜三角形，待我们学过解斜三角形后，即可计算．•(4)实际问题中，若含有“中点”“比例点”常利用中位线，比例线段进行平移．10．A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。ABCDEFG解：连结DF，取DF的中点G，连结EG，CG，又E是AD的中点，故EG//AF，所以∠GEC（或其补角）是异面直线AF、CE所成的角。.4321aAFEG.43232121aABDFFG.47)21()43(2222aABABFCFGCG.32cosGECEGC中用余弦定理得在∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是3211．A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。ABCDEFP另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点，∴AP//EC。故∠PAF(或其补角)为异面直线AF、CE所成的角。,23aAF.27120cos222aPCFCPCFCPF.32aECAP.32cos,PAFPAF得中应用余弦定理∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是32练习1：如图，P为ΔABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEF假设EF与PC不是异面直线,则EF与PC共面由题意可知其平面为PBC,,,PPBCPEPBCPAPBCPABCEPBC平面平面即平面共面平面这与已知P为ΔABC所在平面外一点矛盾PABCMN12、空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？EADCBA1D1C1B1变题:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求AF与OE所成的角OEFNADCBA1D1C1B12、若M为A1B1的中点，N为BB1的中点，求异面直线AM与CN所成的角；NMFE例14、如图，在三棱锥D－ABC中，DA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠ABD=30°，AC=BC，求异面直线AB与CD所成的角的余弦值。ABCD四面体A—BCD的棱长均为a,E，F分别为棱BC，AD的中点，（1）求异面直线CF和BD所成的角的余弦值。（2）求CF与DE所成的角。思考题ABCDEFPQ异面直线所成的角的求法:典例剖析例1：如图正方体AC1，①求异面直线AB1和CC1所成角的大小②求异面直线AB1和A1D所成角的大小D1D1CB1A1ADD1BC1〖分析〗1、做异面直线的平行线2、说明哪个角就是所求角3、把角放到平面图形中求解解:①∵CC1//BB1∴AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角∵在△ABB1中，AB1和BB1所成的角是450∴异面直线AB1和CC1所成的角是450。异面直线所成的角的求法:典例剖析例1：如图正方体AC1，①求异面直线AB1和CC1所成角的大小②求异面直线AB1和A1D所成角的大小D1D1CB1A1ADD1BC1〖分析〗1、做异面直线的平行线2、说明哪个角就是所求角3、把角放到平面图形中求解②∵在面A1B1CD中，∵A1B1CD∴A1D//B1C∴AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角∵在△AB1C中，AB1和CC1所成的角是600∴异面直线AB1和A1D所成的角是600。DB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACB正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BB1的中点,如图画出下面各题中指定的异面直线●P异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，表示异面直线所成的角是它的补角.DB1A1D1C1ACB以第三幅图为例，设正方体的棱长为1，求异面直线的夹角FE1EF1如图，补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体11111ACEACBD解：根据图像知，或它的补角是与的夹角1111222111111011AC=2,BD=3,AE=5AC+BD=AE,ACEACE90则是直角三角形0111ACDB90异面直线与的夹角是补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且SA=BC,E,F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900练习B