柯西—黎曼方程

柯西—黎曼方程张宏浩2020/2/252可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。xyzzz'zz复数复变函数f(z)：z沿任一曲线逼近零。柯西—黎曼方程（复变函数可导必要条件）0xx实数x实变数f(x)：x沿实轴逼近零。因此，复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。2020/2/253z沿实轴→0,y0,,,,,,wxxywxywzxuxxyuxyvxxyvxyixxuvixx000limlimzxywuvuviizxxxx设f(z)在z点可导.下面分析z分别沿平行于实轴（y0）和平行于虚轴（x0）趋于零的特殊情况：2020/2/254柯西—黎曼方程或C-R条件,,,,,,wxyywxywziyuxyyuxyvxyyvxyiiyiyuviiyiy000limlimzyxwuvvuiiziyiyyy由于f(z)在z点可导，要求沿不同方向的极限相等;uvuvxyyx可导必要条件z沿虚轴→,x000limzywuvizxx2020/2/255可导的充分条件是:f(z)=u+iv的u,v偏导数存在，连续且满足柯西—黎曼方程。,,,uuvvxyxy证：由于偏导数连续，则二元函数u和v的增量可分别写为12uuuxyxyxy34vvvxyxyxy随着则0z0i复变函数可导的充分条件：2020/2/256000()limlimlimzzzvuvxyixyfuivxxzuzzyy0()()limzuvxiyixiyxxzuvixx柯西—黎曼方程uyuvyxvx这一极限是与的方式无关的有限值0z2020/2/257解析函数的概念若函数f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数说明：1.解析与可导不等价函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然但是在区域B内解析的函数则解析与可导等价.解析函数例：函数22222(),,(,)0fzzxyuxyxyvxy只在z=0点可导，因而在复平面上处处不解析;uvuvxyyx2020/2/2582.称函数的不解析点为奇点f(z)在点z0无定义或无确定值；f(z)在点z0不连续；f(z)在点z0不可导；f(z)在点z0可导,但找不到在其内处处可导的邻域3.解析函数的充分必要条件设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内解析当且仅当：(1)实部和虚部在B内可导；(2)实部和虚部在B内每一点满足柯西—黎曼条件2020/2/259例判断下列函数在何处可导,在何处解析:(1).;(2).()e(cossin);(3).Re()xwzfzyiywzz1,0,0,1yvxvyuxu[解]（1）因为u=x,v=-y,可知柯西-黎曼方程不满足,所以w=z在复平面内处处不可导,处处不解析（2）因为u=excosy,v=exsiny,yyvyxvyyuyxuxxxxcose,sinesine,cose2020/2/2510•柯西-黎曼方程成立,由于上面四个偏导数都是连续的,所以f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且根据(1.2.4)式有•f'(z)=ex(cosy+isiny)=f(z)•这个函数就是指数函数ez.(3)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以xyvyxvyuxxu,0,2•容易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当x=y=0时,它们才满足柯西-黎曼方程,因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.