1.2.3 行列式按行展开法

行列式按行(列)展开•对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.•本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.一、引言122331111221221333332132132231112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa122331321311222322331213332123aaaaaaaaaaaaaaa222321232123111213323331333133aaaaaaaaaaaaaaa结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？例如11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa11121423313234414244aaaMaaaaaa232323231AMM把称为元素的代数余子式．1ijijijAMija在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.ijijMijaija结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．ijijDaA11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa11121433332122244142441aaaaaaaaaa例如33333333331aAaM11121433212224414244aaaaaaaaaaiijaija11212221200nnnnnaaaaDaaa即有1111.DaM又111111111,AMM从而1111.DaA下面再讨论一般情形.分析当位于第1行第1列时,ija二、行列式按行（列）展开法则定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即11221,2,,iiiiininDaAaAaAin111213111213212223212223313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaa111213212223212223212223313233313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1111aA1212aA1313aA212122222323aAaAaA313132323333aAaAaA同理可得例3112513420111533D51111113100105530312cc34cc33511(1)111155051162055021rr1362(1)55820540.证明用数学归纳法21211Dxx21()ijijxx例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111().nnnijnijnnnnxxxxxxDxxxxx(1)所以n=2时(1)式成立.21xx2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：1x按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有1()ixx213112()()()()nnijnijDxxxxxxxx1().ijnijxx232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxxn−1阶范德蒙德行列式推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.ijijinjnaAaAaAij111213212223AAaaaA212223313232122233aaaaaaaaa分析我们以3阶行列式为例.111213111112121313212223313233aaaaAaAaAaaaaaa把第1行的元素换成第2行的对应元素，则0.定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即11221,2,,iiiiininaAaAaADin推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.ijijinjnaAaAaAij1122,0,niinijjjDijaAaAaAij1122,0,ijijinjnDijaAaAaAij综上所述，有同理可得5312017252023100414002350D例计算行列式解5312017252023100414002350D25531202311204140235231100720667210(2)6620(4212)1080.231254142355320414013202135215231rr21(2)rr例设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求分析利用3521110513132413DD(,)ijijMijA11121314AAAA及11213141.MMMM111213142122232411111212131314143132333441424344aaaaaaaaaAaAaAaAaaaaaaaa125202100解111213141111105134311321AAAA43rr31rr111111052202110011522211021cc25024.152111051313141310510511343rr1521110513130100121105113132rr0.1121314111213141MMMMAAAA