机械振动阻尼自由振动

§2.2无阻尼自由振动自由振动是系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动形态。自由振动时系统不受外界激励的影响，其振动规律完全取决于系统本身的性质。002')0(',)0(0xxxxxxn0''0'')0(,)0(0xxxxkxmx通解为：自由振动的运动微分方程：nnnxxarctgxxAxAxA0020200201')/'(/',mkn/)cos(sincos21tAtAtAxnnn0kxmx无阻尼自由振动时，振动系统为一保守系统，总机械能在运动中保持不变。两边乘以dtdxx/'0''dtdxkxdtdxmx0)'(2122kxmxd2221,'21kxUmxEt令0)(UEdt)sin('tAxnn)(cos21)(sin2122222tkAUtAmEnnnt])/'([212120202ntxxkkAUE证明1证明2EkAUEt2maxmax212max22121'xmmAT定义动能系数则有'//max2TUmkn振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件。由于不考虑能量耗散，无阻尼自由振动时机械能守恒，机械能的大小取决于初始条件和系统参数。振动时动能、势能不断相互转换，因此势能有一个最小值。使势能取最小值的位置正是系统的静平衡位置。系统有稳定的平衡位置，其动能和势能可以相互转化，在外界能量的作用下，才能产生振动。因而，振动总是在平衡位置附近进行。利用能量守恒原理——求系统微分方程和固有频率的重要手段称为Rayleigh商例2.3如图所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过一转动惯量为I的滑轮与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自由度系统，求系统的固有频率。系统的势能为ox2222121)(21kkxmgxxkU解：原点取在静平衡位置，弹簧的相对伸长为x，滑轮沿顺时针方向转过一个角度x/r系统的动能包括滑轮的转动动能和质量的平动动能2'22'2')(2121)(21xmrImxrxIEt0)(UEdt由0)/(2kxxmrI222mrIkrn与书上的结果比较：注意势能的计算，可以不计重力势能，只相差一个常数，不影响计算结果§2.3阻尼自由振动0''0')0(,)0(0xxxxkxcxmxstAex0)(2stekcsmsA(2.22)(2.21)（常系数-线性）解的形式特征方程0222022mksmcskcsms(2.23)mkmcmcs22,122(2.24)22cncmkm22nccccmcmk(2.25)(2.26)nns122,1022'xxxnn(2.27)(2.28)特征方程简化特征方程的解参数变换后的特征方程的解参数的变换意义：临界阻尼、阻尼比参数变换后的微分方程式ζ1，即(c/2m)2k/m，s是实数，此时为强阻尼(又称为过阻尼)情况。特征方程的根为)(121122tttnnneAeAex(2.30))1(2120002,1nnxxxA(2.31)00xx）（00xx）（tstsAAtx2211ee)(tstsxsxsxxsstx21e)(e)(1)(01020021ξ＝1，即(c/2m)2＝k/m此时为`临界阻尼情况。特征方程的根为：nns2,1ttnnteAeAx2100201,xxAxAn(2.33)(2.34)nnis22,11ξ21，即(c／2m)2k/m，s是复数，此时为弱阻尼情况，特征方程的根为(2.35)2212(cos1sin1)cos()nntnntdxectctAet(2.36)nd21(2.37)dnxxcxc/)(,00201(2.38)212TTdd(2.39)阻尼固有频率1tgsin()ntdxAet只有当弱阻尼时，系统的运动才是振动，称为衰减振动。从式(2.36)可以看出，随着时间增长，即t趋于无穷时，振动逐渐衰减为零，系统趋于静止。这是阻尼自由振动与无阻尼自由振动的主要区别之一。由于式(2.36)中有衰减项，因而此时的振动既不是简谐振动，也不是周期振动。但通常仍习惯地称ωd为阻尼固有频率，Ae-ζωt称为振幅。认为在阻尼自由振动时，振动的振幅随时间增长按指数规律衰减。cos()ntdxAet(2.36)这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的减幅振动。衰减振动的频率为，振幅衰减的快慢取决于，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部dnnnis22,11000()(cossin)ntndddxxxtexttnd2dnT即阻尼比较大的系统其自由振动衰减的较快。如果两个系统的阻尼比相同，则具有较高固有频率的系统其自由振动衰减较快。这也就是常说的“高频成分衰减快”具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。222211nn221e以为例，算得0.052211.37e即物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小（Td=1.00125T，周期Td仅增加0.125%），但振幅的衰减却非常显著，它是按几何级数衰减的。12222112,,,2,22dmTTfAuAumTTATT例图示系统的薄板质量为系统在空气中(认为无阻尼)振动周期为在粘性液体中振动周期为液体阻尼力可表示为其中为板的面积，为粘性系数，为板运动的速度。求证：12nT22221dnT2121TT21221TT1122222nATcAmmmT2221122mTTATT