双曲线的参数方程

二、圆锥曲线的参数方程2、双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'A'OBBy在中，(,)Mxy设|'|||tanBBOBtan.b'OAAx在中，|||'|cosOAOAcosbsec,bsec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数2a222xy消去参数后，得-=1,b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'Asec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3[,2)22o通常规定且，。说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式22221xyab22sec1tan相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.双曲线焦点在x轴)(tansec为参数byax双曲线焦点在y轴23,2),2,0[且)(sectan为参数aybx练习一写出下列双曲线的参数形式：222222221191621973136644375xyyxxyxy、、、、练习二已知双曲线的参数形式，写出普通式：2secx3tany15secx7tany２1sec3xtany３练习三求双曲线的渐近线方程3tanxsecy解：将双曲线方程变为tan3xsecy消去参数，得2219xy所以渐近线方程为13yx例2、2222100xyMabOabMABMAOB(,)如图，设为双曲线任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于，两点。探求平行四边形的面积，由此可以发现什么结论？OBMAxy.byxa双曲线的渐近线方程为：解：tan(sec).MbybxaaA不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为,则直线的方程为（asec,btan）：①b将y=x代入①，解得点A的横坐标为aAax=（sectan）2.Bax=（se同理可得，点B的横坐cta2标n为）.ba设AOx=,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA||OB|sin2=ABxxsin2coscos2222a(sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。两点距离的最小值、，求上一点与双曲线上一点、已知圆QPQyxPyxO11)2(:12222练习四133,454,1tan3)1(tan24tan4tan1tan)2(tansec)tan,(secminmin222222PQOQOQQ时或即当的最小距离先求圆心到双曲线上点标为解：设双曲线上点的坐1．参数方程tttteeyeex（t为参数）表示的曲线是A、双曲线B、双曲线的下支C、双曲线的上支D、圆C2．已知定点)4,0(A和双曲线16422yx上的动点B，点P分有向线段AB的比为1:3，则P点的轨迹方程为)(tan213sec为参数yx4.4.3参数方程的应用(3)-----抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyxHM(x，y)M设（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作。tan.My因为点（x,y）在的终边上，根据三角函数定义可得x.2又设抛物线普通方程为y=2px,().y22px=tan解出x,y得到抛物线（不包括顶点）的参数方程：为参数2ptan1如果设t=,t(-,0)(0,+),则有tan,().ty2x=2pt为参数2pt0t当时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。,().ttRy2x=2pt所以，为参数，表示整条抛物线。2pt思考：参数t的几何意义是什么？抛物线的参数方程oyxHM(x，y)2抛物线y=2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当=0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。思考：怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p0)的参数方程？.即P(x,y)为抛物线上任xt一,则有=点y意yox)(tan2tan22为参数pypx),0(tant令)(222为参数tptyptx)(Rtpyx22例1：如图，O是直角坐标原点，A、B是抛物线y2=2px(p0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程OMAyxB作业：P34-35Ex3、4、5