双曲线的参数方程、抛物线的参数方程

二、圆锥曲线的参数方程2、双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'A'OBBy在中，(,)Mxy设|'|||tanBBOBtan.b'OAAx在中，|||'|cosOAOAcosasec,asec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数2a222xy消去参数后，得-=1,b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程•baoxyMBA'B'Asec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：3[0,2)22通常规定且，。⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式22221xyab22sec1tan相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.的两个焦点坐标。、求双曲线tan34sec32{1yx(215,0)练习：3sec2{()_______tanxy、双曲线为参数的渐近线方程为13yx22221:(2)11OxyPxyQPQ例、已知圆上一点与双曲线上一点，求、两点距离的最小值222222minmin(sec,tan)sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,,34431QOQOQPQ解：设双曲线上点的坐标为先求圆心到双曲线上点的最小距离当即或时例2.如图,设M为双曲线上任意一点,O为原点,过点M作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点.探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论?)0,(12222babyaxxaby解:双曲线的渐近线方程为.不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为,则直线MA的方程为)tan,sec(ba)sec(tanaxabby将代入上式,解得点A的横坐标为)tan(sec2axA同理,得点B的横坐标为).tan(sec2axBxaby设,则AOx,tanab所以,MAOB的面积为2sincoscos2sin||||BAxxOBOAS2sincos4)tan(sec2222a.22tan222ababaa由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值,与点M在双曲线上的位置无关.222222223004.(,),PbxayababPabPR例设是双曲线上任意一点过点作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线相交于点Q和R,求证:PQ3、抛物线的参数方程xyoM(x,y)222...........(5)tan..................................(6)2tan(5),(6),()2tan(5)(){ypxMyxpxxypy设抛物线的普通方程为因为点在的终边上，根据三角函数的定义可得由解出，得到为参数这就是抛物线不包括顶点的参数方程21,(,0)(0,),tan2{()20(0,0)(,)ttxpttyptttt如果令则有为参数当时，由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点因此当时，参数方程就表示抛物线。参数表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。21212121212121221{()2,,11xpttyptMMttMMAttBttCDtttt、若曲线为参数上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是、、、、()c22,2(0),OABypxpOAOBOMABABMM、如图是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点,且并于相交于点，求点的轨迹方程。xyoBAM2,?ABAOB探究：在中，点在什么位置时，的面积最小？最小值是多少20032(1,0)MyxMPMMP、设为抛物线上的动点，给定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程。1215565215443,7782.5,7721.5,7782.5cos{()7721.5sinababxy、解：因为，所以所求的椭圆的参数方程为为参数11221222(cos,sin),(,0),(,0),,coscos,1sin1sinpQBPBMBQBMPQPQMabPxQxPQBMBMxKKKKaaxxOPOQxxa、证明：设，因为、分别为与轴的交点，所以由斜率公式计算得所以为定值2222223(0),sec{()tan(sec,tan),sectansectan1111(sec)(tan)()22xyaaxayaMaaMyxyxaaaaaaa、证明：设等轴双曲线的普通方程为则它的参数方程为为参数设是双曲线上任意一点，则点到两渐近线及的距离之积为常数。平分线段所以抛物线的顶点的中点为原点因为的坐标为所以的方程为直线的坐标为所以点的方程为直线的坐标为则点的坐标分别为、证明：设点DEODEtptEptxttptyACtptDptxttptyABptptCptptptptBA),0,0()0,2()2(12)0,2()2(12)2,2(),2,2()2,2(,42121211212121122222212122221522{(,)21{(2,2)2OAykxOByxkykxppAypxkkyxBpkpkkypx、解：直线的方程为，直线的方程为解方程组得点的坐标是解方程组得点的坐标是)({222,222),(222222为参数的轨迹的参数方程是的中点所以，线段则的坐标为设点kpkkpypkkpxMABpkkppkkpypkkppkkpxyxM1226362CCyxm.:()sin:().,12x=m+2cos已知椭圆为参数及y=3抛物线若CC求的取值范围.