第三章 最小二乘法与曲线拟合

第三章最小二乘法与曲线拟合§3.1最小二乘法§3.2曲线拟合§3.1最小二乘法通过给出的一组离散点，构造一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，而插值函数会将这些误差也包括在内。因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：①不要求过所有的点（可以消除误差影响）；②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。※可以采用最小二乘法曲线拟合问题：要求近似曲线严格通过所给定的点——插值法作近似曲线，考虑初值误差——最小二乘法().(()1)iiiiiy=f(x)xyyxxyin一般的，对给定的一组数据，不能要求严格通过所有数据点，。若拟合曲线为，称为偏差(=1偏,2,差：)。一、最小二乘原则：0i拟合时尽量使注：2.常用方法：111|||()|mmiiiiixy（）使偏差绝对值之和最小，即最小。11(2)max||max|()|iiiimimxy使偏差最大绝对值最小，即最小。2211()mmiiiiixy（3）使偏差平方和最小，即［］最小。※常用第三种方法，称为最小二乘原则。二、矛盾方程组：11112211211222221122mmmmnnnmmnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb11,2,,mijjijaxbin或1、——（1）mn当时，称为矛盾方程组。2、矛盾方程组的解：求一组数代入（1）式，使每个等式的偏差最小，称为矛盾方程组的最优近似解。12,mxxx，12,mxxx，3、最小二乘法：（1）式：11,2,,mijjijaxbin1()1,2,,miijjijaxbin偏差：22111()nnmiijjiiijQaxb记11112()2()0nmnmijjiikijjiikijijkQaxbaaxbax111(1,2,,)mnnijikjikijiiaaxabkm即（求Q的最小值）——（2）称（2）为（1）的正规方程组（法方程组）。（2）的解即为（1）的解，称此方法为最小二乘法。2+4=11353264214xyxyxyxy例：利用最小二乘法求矛盾方程组：12342411353264214xyxyxyxy解：将原方程组改写为4221222(2411)(353)(26)(4214)iiQxyxyxyxyQ2(30393)02(49369)0xyxQyxy103149369xyyx故正规方程组为2.9771.226xy，解得：§3.2曲线拟合xy一、已知设一个次数低于n－1的多项式12nxxx12nyyy01()(1)mmQxaaxaxmn代入数据得矛盾方程组：——（3）013,,,)maaa从（）中解出(即可。011110122201mmmmmnmnnaaxaxyaaxaxyaaxaxy二、解题步骤：1.(,)(1,2,,)iixyin将所给的数据点描绘在坐标图纸上。012.()(1)mmxaaxaxmn确定曲线拟合的形式，即由图形估计出拟合曲线。设（称为经验公式，常用低次多项式）。13.1,2,,mijjijaxbin建立矛盾方程组：1114.(1,2,,)mnnijikjikijiiaaxabkm按最小二乘原则建立法方程组：015.,,,maaa解法方程组，求出。三、上机实现：Mathematica拟合函数：Fit[data,funs,vars]用数据data，以vars为变量，按拟合函数的基函数funs的形式构造拟合函数。编号拉伸倍数强度编号拉伸倍数强度11.91.41355.5221.3145.2532.11.81565.542.52.5166.36.452.72.8176.5662.72.5187.15.373.531986.583.52.72087944218.98.51043.52298114.54.2239.58.1124.63.524108.1iiyxiiyx实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:1234567891012345678912345678910123456789xxy10)(为待定参数其中10,问题分析：纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近yx因此可以认为强度与拉伸倍数的主要关系应是线性关系解：从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系xaaxy10)(故可选取线性函数为拟合函数，建立法方程组61.8295.1275.1272410aa6.7311.1131505.00a8587.01a解得1234567891012345678912345678910123456789拟合曲线与散点的关系如右图: