河北工程大学 结构力学 第二章 平面体系的几何构造分析b

1第二章平面体系的几何构造分析§2-1几何构造分析的基本概念§2-2几何不变体系的组成规律§2-3平面体系的计算自由度2§2-1几何构造分析的基本概念一、几何构造分析的目的1.判断某个体系是否为几何不变体系，因为只有几何不变体系才能作为结构使用；此外应根据几何不变体系的规律设计新结构。2.正确区分静定结构与超静定结构。二、基本概念1.几何不变体系与几何可变体系几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系的位置和形状不会改变。3几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系的位置和形状是可以改变的。几何不变体系几何可变体系常变体系瞬变体系常变体系——可以发生大位移的几何可变体系叫作常变体系。4瞬变体系：本来几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。常变体系瞬变体系几何可变体系不能作为结构来使用。B1BACo5平衡位置CAB(1)从微小运动看是一个可变体系—具有自由度；(2)经微小位移后成为不变体系—瞬变体系；从有多余约束来说，它具有超静定结构的性质；从静力学方面讲，在荷载作用下它的解是不唯一的。特别注意：瞬变体系是几何可变体系的特例，具有迷惑性，这尤其需要引起工程界的重视。瞬变体系具有三个特点：(3)具有多余约束—是暂时的。6即：对于几何不变体系而言，体系的内部和外部都具有足够的联系(约束)；(c)几何可变体系(支撑不完善)(a)几何不变体系(b)几何不变体系(d)几何可变体系(支撑不完善)7(e)几何可变体系(结构本身不完善)即：而对于几何可变体系而言，体系的内部和(或)外部缺少足够的联系(约束)。82.刚片由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体，在几何构造分析中称为刚片。3.自由度体系在平面内运动时，可以独立变化的几何参数的数目称为自由度。一般：n个独立的运动方式=n个自由度（1）一个结点在平面内有两个自由度，因为确定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何参数x、y。9（2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参数x、y、φ。结点自由度xyAyx刚片自由度xyyxφ4.约束凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。10约束的种类分为：（1）外部约束（支承条件）：是指体系与基础之间的联系，也就是支座。一个滚轴支座=1个约束一个铰支座=2个约束一个固定支座=3个约束一个定向支座=2个约束111）链杆（2）内部约束(杆件之间的联系)：是指体系内部各杆之间或结点之间的联系，如铰结点、刚结点和链杆等。链杆约束xyxy321,,,,yx132简单链杆：仅连结两个结点的杆件称为简单链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根简单链杆相当于一个约束。即：一根链杆=1个约束复杂链杆？12AOBxyyx2）铰简单铰：只与两个刚片连结的铰称为简单铰。一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于两个约束。即：一个单铰=2个约束复杂铰？3）刚性连结（刚结点）看作一个刚片即：一个刚结点=3个约束134）瞬铰（虚铰）两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作在交点处有一个瞬铰（虚铰）。关于∞点的情况需强调几点：每一个方向有一个∞点;不同方向有不同∞点;相交在∞点AA14各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线;各有限点都不在∞线上。注意：连接两刚片的两链杆构成瞬铰。5、多余约束多余约束：如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，则此约束称为多余约束。15A①②③A①②讨论：将一个点固定在刚片(基础)上。点A有两个自由度，只需两个约束就可以了。可用不共线的两根链杆①、②固定。若再增加一根链杆③，三根链杆也只能减少两个自由度，所以有一根是多余的。问题是哪一根是多余的呢？请思考！16§2-2几何不变体系的组成规律一、几何不变体系的组成规律基本规律就是三角形规律。1、一个结点与一个刚片的连接前提：平面体系的无多余约束的几何不变体系的组成规律。被约束对象：结点A，刚片I提供的约束：两根链杆1，2A12I二元体规则17规律1：一个结点与一个刚片用不共线的两根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。图示体系，结点A、刚片I由共线的链杆1，2相连，是瞬变体系。A12I182.两个刚片之间的连接规律2：两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。被约束对象：刚片I，II提供的约束：铰A及链杆1A1III杆不过铰的中心193.三个刚片之间的连接规律3：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变体系且无多余约束。AIIIIIIBC被约束对象：刚片I，II，III提供的约束：铰A、B、C三铰不共线20下面看看几种特殊情况：我们知道，一根链杆相当于一个约束，一个铰相当于两个约束，一个铰可以用两根链杆代替，则有规律4：4.两个刚片之间用三根链杆连接被约束对象：刚片I，II提供的约束：链杆1，2，3A3III21虚铰A规律4：两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。21讨论1：当两刚片用三根链杆联结时，有六种情况发生，但是什么情况下才能组成几何不变体系呢？分析下面各种情况。（都可归结为规律4）①三根链杆中有两根杆形成一个实铰，且第三根杆不通过该铰中心(图a)；(a)几何不变体系132ⅠⅡ22②三根链杆中有两根杆形成一个虚铰，且第三根杆不通过该虚铰中心(图b)。（见规律4）(1,2)(b2)几何不变体系132ⅠⅡA1III(b1)几何不变体系23(c)几何常变体系132ⅠⅡ③三根链杆相交于一点，形成一个实铰(图c)。④三根链杆的延长线相交于一点，形成一个虚铰(图d)。(d)几何瞬变体系132ⅠⅡ(1,2,3)24(e)几何常变体系132ⅠⅡ⑤三根链杆平行且等长，形成一个无穷远虚铰(图e)。(f)几何瞬变体系132ⅠⅡ⑥三根链杆平行不等长(图f)。25因此，对规律2和规律4，我们也可以统一叙述为：两个刚片用一铰（实铰或虚铰）和一根不通过该铰的中心的链杆连结，则组成几何不变体系且无多余约束。特别说明：平行两杆在无穷远处形成“虚铰”。讨论2（看规律3）：三个刚片用三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。看以下几种情况，即：26①当三个铰共线时，则为几何瞬变体系(图a)。当3个铰用6根链杆代替时的情况：②6根链杆两两形成实铰，三铰不共线，为无多余约束的几何不变体系（图b）。CBA(a)几何瞬变体系ⅠⅡⅢ27(b)几何不变体系ⅡⅠⅢCBA(c)几何不变体系ⅡⅠⅢCBA③6根链杆两两形成虚铰，三铰不共线，为无多余约束的几何不变体系(图c)；28(d)几何不变ⅡⅠCBAⅢ④6根链杆形成一个实铰和无穷远处的两个虚铰，三铰不共线，则体系几何不变，且无多余约束(图d)。29(e)几何瞬变ⅡⅠCBAⅢ⑤6根链杆中4杆两两形成一个实铰和一个虚铰，而这两个铰的连线与另外两根链杆平行，则体系几何瞬变(图e)；30⑥6根链杆形成三个无穷远铰，数学上可证明三铰共线，故体系几何瞬变(图f)。(f)几何瞬变ⅡⅠCBAⅢ31刚片I,II——用铰A连接刚片I,III——用铰B连接刚片II,III——用铰C连接看几种混合情况：⑦三铰（不同的铰）不共线，体系几何不变且无多余约束（图g）。AIIIIIIBC(g)几何不变32⑧一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多余约束（图h）。AIII1IIB2IC（h）几何不变体系33⑨瞬铰B、C在两个不同方向的无穷远处，它们对应于无穷线上两个不同的点，铰A位于有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰不共线，体系为几何不变且无多余约束（图i）。BIIIIICIA（i）几何不变体系34⑩形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个铰A、B、C位于同一直线上，故体系为瞬变体系(图j)。AIIIIICIB（j）几何瞬变体系由此可知，规律3还可叙述如下：三个刚片用不共线的三个铰(实铰或虚铰)两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。35二、基本组成规律的应用有两个方面：（1）利用基本组成规律构成几何不变体系；（2）对已给的体系进行几何组成分析。在此，主要介绍第二方面的内容。解题思路：基础看作一个大刚片；要区分被约束的对象及提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。36例2-2-1试分析图a)所示体系的几何构造。（a）解：（1）被约束对象：刚片I，II及结点D。（a）12345DIII（基础）37刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4，组成大刚片；大刚片、结点D用链杆4、5相连，符合规律1。故体系为几何不变且无多余约束。II解：（2）被约束对象：刚片I，II，III及结点D，见图（b)。II（基础）（b）A1234DIIIIBo38刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰o)；刚片I、III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、B、o不共线，符合规律3，组成大刚片。大刚片与结点D用链杆3、4相连，符合规律1。故体系几何不变且无多余约束。IIII（基础）（b）A1234DIIIIBo39例2-2-2试分析图示体系的几何构造。刚片I、II用链杆1、2、3（约束）相连，符合规律4。故该体系几何不变且无多余约束。123III（基础）解：被约束对象：刚片I，II（基础）。注意：约束代换，直杆1、3代替折杆。40例2-2-3试分析图示体系的几何构造。A、B、C三铰均在无穷远处，位于同一无穷线上，故为瞬变体系。解：刚片I、Ⅱ用链杆1、2相连，（瞬铰A)；刚片I、Ⅲ用链杆3、4相连，（瞬铰B)；刚片Ⅱ、Ⅲ用链杆5、6相连，（瞬铰C)。BAC6I125IIIII3441例2-2-4试分析图示体系的几何构造。因为A、B、C三铰不在同一直线上，符合规律3，故该体系几何不变且无多余约束。解：刚片I、Ⅱ用链杆1、2相连（瞬铰A)；刚片I、Ⅲ用链杆3、4相连（瞬铰B)；刚片Ⅱ、Ⅲ用链杆5、6相连（瞬铰C)。CA12IIII（基础）II4356B42小结：（1）要正确选定被约束对象（刚片或结点）以及所提供的约束。（2）要在被约束对象（刚片或结点）之间找约束，除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。（3）注意约束的等效替换。特别说明：当体系与基础的连接不符合两刚片连接规律时，应从体系内部寻找构造单元，进行分析。43复杂形状(曲线、折线等)链杆可用直链杆代替；(a)(b)(c)关于“二元体”（见规律1）体系中若局部有不共线的两根链杆将一铰结点联于主体，则此局部称为“二元体”。44分析体系时，可以先排除“二元体”，然后分析主体部分的几何构造；若主体部分几何不变，则整个体系几何不变。如：12349567810111210123456789EABCD45思考题：试分析下图示各体系的几何构造组成。（a）（b）46（c）（d）（e）（f）特例1特例247(g)(h)(i)(j)ⅠⅡⅢ基础G12H34ABCDEFABCDEGⅠⅡⅢABCDEFOⅠⅡOⅡⅢOⅠⅢOⅠⅢⅢⅠⅡABCEDFOⅠⅡOⅡⅢ内部可变度问题48(k)ⅥⅠⅡⅢⅣⅤABCDGEFABCDEFABCDEFGAEDCBGF(o)(n)(M)(l)49§2-3平面体系的计算自由度一、复杂链杆与复杂铰1、简单链杆与复杂链杆简单链杆：仅连接两个结点的链杆称为简单链杆，一根简单链杆相当于一个约束。复杂链杆：连接三个或三个以上结点的链杆称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3）根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。50n=3(23)2333n2.简单铰与复杂铰简单铰：只与两个刚片连接的铰称为简单铰。一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于两个约束。铰约束21,,,yxxyxIII21y51复杂铰：连接三个或三个以上刚片的铰称为复杂铰。若刚片数为m，则该复杂铰相当与(m-1)个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)。复铰约束321,,,,yx2(3-1)=4x