第3章 抽样误差与假设检验(1)

第三章抽样误差与假设检验第一节、正态分布1、图形2、特征3、面积4、应用1、正态分布的图形正态分布正态曲线（normalcurve）是一条高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线。该曲线的函数表达式f(x)，称为正态分布密度函数，其中，μ为总体均数，σ为总体标准差．2、正态分布的特征单峰分布，钟形，均数处最高；以均数为中心，左右对称；2个参数μ和，N（μ，2）正态分布的特殊形式：标准正态分布N（0，1）；曲线下的面积有一定规律。3、曲线下面积正态曲线下的面积特点横轴上曲线下的面积为1曲线下，横轴上对称于均数的面积相等μ，已知时，进行标准正态变换再查表μ，未知时，用样本的均数和标准差代替95%，99%的面积已知：=119.95cm,s=4.72cm.试问:(1)估计该地7岁男童身高在110cm以下者占该地7岁男童的百分比。(2)估计该地7岁男童身高在130cm以上者占该地7岁男童的百分比。(3)估计该地7岁男童身高在110cm到130cm之间的占该地7岁男童的百分比。正态分布的应用1、估计变量值的频数分布例3.1：某市2002年110名7岁男童的身高X当μ，已知时，当μ，未知时，本例查附表1，为1.74％，即身高在110cm以下者约占该地7岁男童的1.74％。同理，身高在130cm以上者约占该地7岁男童的1.66％。身高在110～130cm之间的约占1－（1.74％＋1.66％）＝96.6％110119.952.114.72xxzsxzxxzs130119.952.134.72xxzs2、制定医学参考值范围（referenceranges）定义——是指特定健康人群的解剖、生理、生化等各种数据的波动范围。习惯上是确定包括95%的人的界值。制定方法选择足够数量的正常人作为参照样本（1）“正常人”的标准明确；（2）有一定的样本含量（n≥100）；（3）随机抽样准确的测定测量方法、仪器的灵敏度、操作规范等确定单侧或双侧根据指标的实际用途，有的指标有上下界值，过高过低均属异常；某些指标过高为异常，只需确定上限；某些指标过低为异常，只需确定下限。选择适当的百分范围95％最常用减少假阳性——如确诊病人（95％，99％）减少假阴性——如初筛病人（80％，90％）确定医学参考值范围的方法有两种：（1）正态分布法若X服从正态分布，可以依正态分布规律计算。因为正态分布变量X在区间μ±1.96σ，所以正态分布资料双侧医学参考值范围一般按下式作近似估计：±1.96SX例3.1：（119.951.96×4.72，119.951.96×4.72）即（110.69cm,129.20cm)单双侧：根据指标的实际用途，有的指标有上下界值，过高过低均属异常；某些指标过高为异常，只需确定上限；某些指标过低为异常，只需确定下限。例某地调查110名健康成年男性的第一秒肺通气量，得均数为4.2（L），标准差为0.7（L），请估计该地成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围。即该地成年男子的第一秒肺通气量95%参考值范围为：3.05（L）1.6454.21.6450.73.05xsL（2）百分位数法双侧95％医学参考值范围是（P2.5，P97.5），单侧范围是P95以下，（如血铅、发汞），或p5以上（如肺活量）。该法适用于任何分布型的资料，尤其是偏态分布资料。3、质量控制上、下警戒值：上、下控制值：2xs3xs4、正态分布是很多统计方法的基础正态分布——t检验、Z检验、F检验偏态分布——非参数检验例2-1测得130名健康成年男子脉搏资料(次/分)如下75767269667257687172697273828082676973647458706460776677646776757571656276727160677575737966697978707270727872677280687061707372718170667571637774766865776977757964797376618064697073696865706966816364807478768466707360768273646573736380687670797764706669737876第二节抽样误差μ=71.32σ=5.89样本号nst11072.207.602.400.36621073.605.741.821.25631069.205.571.76-1.20341070.206.442.04-0.550xxs因为总体中各观察单位间存在个体变异，每份样本的组成不一样；所以从同一总体中反复多次地随机抽取容量相同的若干份样本，计算每一份样本的统计量是不同的，而且样本统计量与总体参数之间也不一定恰好相同。一、样本均数的抽样分布与抽样误差1.样本均数的抽样分布特点：各样本均数未必等于总体均数；样本均数之间存在差异；样本均数的分布很有规律，围绕着总体均数，中间多、两边少，左右基本对称，也服从正态分布；样本均数的变异较之原变量的变异大大缩小。2.均数的抽样误差：是指由抽样造成的样本均数与样本均数、样本均数与总体均数之间的差异。样本均数的标准差（标准误）：是用于表示均数抽样误差的指标；反映样本均数之间的离散程度，也反映样本均数抽样误差的大小。根据数理统计学原理，若随机变量X的均数为，方差为，则样本均数的均数仍为，样本均数的标准差为，且又根据正态分布原理，若随机变量X服从正态分布，则样本均数也服从正态分布。若随机变量X～，则样本均数～2XXnXX2(,)XN2(,)N在实际应用中，总体标准差常常未知，需要用样本标准差S来估计。此时，样本均数标准误的估计值为可见，样本均数标准误的大小与标准差成正比，与样本含量的平方根成反比，即在同一总体中随机抽样，样本含量越大，抽样误差越小。故在实际应用中可以通过增加样本含量来减少样本均数的标准误，从而降低抽样误差。XSSn如果总体并非正态分布，从中随机抽取的样本均数之分布又将如何？样本均数的总体均数仍等于原来的总体均数，样本均数的标准误仍满足但是，当样本量n较小时，样本均数的分布并非正态分布，而样本量足够大时（如），样本均数的分布近似于正态分布。Xn50n中心极限定理:当样本含量很大的情况下，无论原始测量变量服从什么分布，的抽样分布均近似正态。X抽样分布抽样分布示意图例3.22000年某研究者随机调查某地健康成年男子27人，得到血红蛋白的均数为125g/L，标准差为15g/L。试估计该样本均数的抽样误差。解：152.89/27XSSgLn第三节t分布（一）t分布的概念（二）t分布的图形和t分布表（一）t分布的概念从正态分布抽得样本的均数也服从正态分布，记为；对正态变量作变换，便有在实际工作中，当未知时，常用来代替，此时，对正态变量采用的不是z变换，而是t变换。统计量t服从自由度为（n-1）的t分布。2(,)NX2(,)XNXXXZ~(0,1)XXZNXXSXXXtSSnX（二）t分布的图形与t分布表t分布的图形特征：单峰分布，以0为中心，左右对称，类似于标准正态分布；自由度越小，则越大，t值越分散，曲线的峰部越矮，尾部越粗；随着自由度逐渐增大，t分布逐渐逼近标准正态分布；当自由度趋于，t分布就完全成为标准正态分布，故标准正态分布是t分布的特例。XS返回t值表（附表2）纵坐标：自由度，υ横坐标：概率，p,即曲线下阴影部分的面积;表中的数字：相应的|t|界值。t值表规律：(1)自由度（υ）一定时，p与t成反比;(2)概率（p）一定时，υ与t成反比;小结1.从同一总体中反复多次地随机抽取若干份样本，各样本统计量之间以及样本统计量与总体参数之间存在差异，此现象称抽样误差。反应抽样误差大小的指标是标准误，均数的标准误的理论值为，样本估计值为；XnXSSn小结2.由于总体中个体变异的客观存在，抽样误差是不可避免的，但可随着样本含量的增加而减少。来自正态总体的样本均数，其分布仍服从正态分布；即使从偏态分布总体抽样，只要n足够大，均数的分布也近似成正态分布。要注意均数的标准误与原变量的标准差之间的区别，不能混淆其意义。3.当X服从均数为统计量服从自由度为（n-1）的t分布。随着自由度不同，t分布的形状不同；当自由度很大很大时，t分布近似标准正态分布。XXtS