2012年天津高考数学理科试卷(带详解)

2012年天津高考数学卷解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i是虚数单位，复数7i3iz（）A．2iB.2iC.2iD.2i【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数的分式形式求其值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】7i(7i)(3i)217i3i12i3i(3i)(3i)10z2.设R，则“0”是“()cos()()fxxxR为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】三角函数的奇偶性,充分、必要条件.【考查方式】判断三角函数初相参数取值与函数奇偶性的关系.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】∵0()cos()()fxxxR为偶函数，反之不成立，∴“0”是“()cos()()fxxxR为偶函数”的充分而不必要条件.3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25时，输出x的值为（）A.1B.1C.3D.9第3题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图得出程序运算结果.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】根据图给的算法程序可知：第一次4x，第二次1x，则输出2113x.4.函数3()22xfxx在区间(0,1)内的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3【测量目标】函数零点的求解与判断.【考查方式】直接给出函数的解析式判断其零点的个数.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】解法1：因为(0)1021f，3(1)2228f，即(0)(1)0ff且函数()fx在0,1内连续不断，故()fx在0,1内的零点个数是1.解法2：设3122,2,xyyx在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.第4题图5.在251(2)xx的二项展开式中，x的系数为（）A.10B.10C.40D.40【测量目标】二项式定理.【考查方式】直接给出一个二项展开式求某项的系数.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】∵2515103155C(2)()2(1)CrrrrrrrrTxxx，∴1031r，即3r，∴x的系数为40.6.在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，已知85,2bcCB，则cosC（）A.725B.725C.725D.2425【测量目标】正弦定理，三角函数中的二倍角公式.【考查方式】已知三角形角与边的关系运用正弦定理求一角的余弦值.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】∵85bc，由正弦定理得8sin5sinBC，（步骤1）又∵2CB，∴8sin5sin2BB，（步骤2）所以8sin10sincosBBB，易知sin0B，（步骤3）∴4cos5B，27coscos22cos125CBB.（步骤4）7.已知ABC△为等边三角形，2AB，设点,PQ满足,APAB(1),AQACR，若32BQCP，则（）A.12B.122C.1102D.3222【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】给出三角形边的向量关系式，运用平面向量的知识求解未知参数.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】∵(1),BQAQABACABCPAPACABAC，（步骤1）又∵32BQCP，且2ABAC，,60ABAC，cos602ABACABAC（步骤2），∴3(1)()2ACABABAC，2223(1)(1)2ABABACAC，（步骤3）所以2342(1)4(1)2，解得12.（步骤4）第7题图8.设,mnR，若直线(1)(1)20mxny与圆22(1)(1)1xy相切，则mn的取值范围是（）A.13,13B.,1313,C.222,222D.,222222,【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】已知一直线与圆的位置关系求未知参数的取值范围.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】∵直线(1)(1)20mxny与圆22(1)(1)1xy相切，（步骤1）∴圆心(1,1)到直线的距离为22(1)(1)21(1)(1)mndmn，所以212mnmnmn（）„（步骤2）设tmn，则2114tt…，解得,222222,t.（步骤3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校.【测量目标】分层抽样.【考查方式】运用分层抽样里的按比例抽样知识解决实际问题.【难易程度】容易【参考答案】18，9【试题解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取15030=18250，中学中抽取75309250.10.―个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为3m.第10题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.【考查方式】给出一个几何体的三视图求其原几何体的体积.【难易程度】容易【参考答案】189π【试题解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：3433612π()189π32V3m.11.已知集合23AxxR，集合()(2)0BxxmxR,且(1,)ABn，则m,n.【测量目标】集合的基本运算，集合间的关系.【考查方式】给出含有未知参数的集合通过它们直接的关系求出未知参数.【难易程度】容易【参考答案】1，1【试题解析】∵2351AxxxxR,又∵(1,)ABn，画数轴可知1,1mn.12.己知抛物线的参数方程为22,2,xptypt（t为参数），其中0p，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E，若EFME，点M的横坐标是3，则p.【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出抛物线的参数方程，运用其简单的几何性质求未知数.【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】∵22,2,xptypt可得抛物线的标准方程为22(0)ypxp，（步骤1）∴焦点(,0)2pF，∵点M的横坐标是3，则(3,6)Mp，（步骤2）所以点(,6),2pEp222()(06)22ppEFp（步骤3）由抛物线得几何性质得2213,,63924pMEEFMFpppp，解得2p.（步骤4）13.如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，33,1,,2AFFBEF则线段CD的长为.第13题图【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】给出与圆相关的直线与线段由圆的性质求未知线段.【难易程度】中等【参考答案】43【试题解析】∵33,1,,2AFFBEF由相交弦定理得AFFBEFFC，所以2FC，（步骤1）又48//,,233AFFCABBDCEBDFCABBDAF，（步骤2）设CDx，则4ADx，再由切割线定理得2BDCDAD，即284()3xx，解得43x，故43CD.（步骤3）14.已知函数211xyx的图象与函数2ykx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是.【测量目标】函数图像的应用.【考查方式】已知两个函数的图像的位置关系求解未知参数的取值范围.【难易程度】中等【参考答案】(0,1)(1,4)【试题解析】∵函数2ykx的图像直线恒过定点(0,2)B，且(1,2),(1,0),(1,2)ACD，∴2+2==010ABk，0+2==210BCk，2+2==410BDk，由图像可知(0,1)(1,4)k.第14题图三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos1,33fxxxxxR.(Ⅰ)求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）求函数()fx在区间ππ,44上的最大值和最小值.【测量目标】三角函数的周期性、最值.【考查方式】给出三角函数的函数解析式求解其最小正周期和在某个区间内的最值.【试题解析】(Ⅰ)2ππ()sin(2)sin(2)2cos133fxxxxππ2sin2coscos22sin(2)34xxx（步骤1）函数()fx的最小正周期为2ππ2T（步骤2）（Ⅱ）ππππ3π2π2sin(2)11()24444424xxxfx剟剟剟剟（步骤3）当πππ2()428xx时，max()2fx，当πππ2()444xx时，min()1fx（步骤4）16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：（Ⅲ）用,XY分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记XY，求随机变量的分布列与数学期望E.【测量目标】互斥事件与相对独立事件的相关性质、数学期望.【考查方式】针对实际问题运用互斥事件与相对独立事件的性质求解概率问题.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）每个人参加甲游戏的概率为13p，参加乙游戏的概率为213p（步骤1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248C(1)27pp.（步骤2）（Ⅱ）44(4,)()C(1)(0,1,2,3,4)kkkXBpPXkppk，（步骤3）这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9PXPX（步骤4）（Ⅲ）可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81PPXPPXPXPPXPX（步骤5）随机变量的分布列为8401714802427818181E（步骤6）17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，PA丄平面ABCD，,,45,2,1ACADABBCBACPAADAC.(Ⅰ)证明：PCAD；024P82740811781（Ⅱ）求二面角APCD的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长.第17题图【测量目标】线线垂直、异面直线所成的角的正弦值.【考查方式】通过空间几何体中的线线，线面直接的位置角度关系求证线线垂直以及异面直线所成角的正弦值.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)以,,ADACAP为,,xyz正半轴方向，建立空间直角坐标系Axyz.（步骤1）则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22DCBP（步骤2）(0,1,2),(2,0,0)0PCADPCADPCAD（步骤3）第17题（1）图（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PCCD，设平面PCD的法向量(,,)xyzn则0202200PCyzyzxyxzCDnn取1(1,2,1)zn（步骤4）(2,0,0)A