连续控制系统的仿真

第四章连续控制系统的仿真4.1仿真模型的结构1.面向闭环系统微分方程(传递函数)的数字仿真方法：得到系统的闭环传递函数，再用Z变换法获得闭环系统的差分迭代格式,又称仿真模型；或者有微分方程组采用数值积分法、离散相似法离散成迭代格式后进行仿真。局限性：该方法要求用户上机前事先计算出闭环传递函数，在多回路系统中具有很大的局限性。开环系统往往有控制器、控制对象等多个环节组成，写出总的闭环传递函数后研究某个环节的参数变化对系统品质的影响不方便，特别是在多回路系统中研究小闭环中某环节参数变化对系统影响更麻烦；系统中含有非线性环节就写不出闭环传递函数。2.面向系统结构图的数字仿真将系统看作有许多典型环节组成，进行仿真时，将各个环节的参数以及各个环节的连接方式输入计算机让计算机求闭环系统的数值解。4.2典型环节的离散化系统及其差分方程典型环节：比例环节、积分环节、比例－积分环节、惯性环节、比例－微分环节、滞后环节等，为了减少仿真系统的环节，一般引入二阶与三阶环节。1.三阶环节2()()()()()YsdsesfUssasbsc131112()()pppYsUssasbsc展开成部分分式：令123()1()()1()()1()zsUssazsUssbzsUssc得到状态方程为ZAZBU其中00100,1001aAbBc输出方程为111122133222111213,,()()()()()()ypzpzpzdaaefdbbefdccefpppbacaabcbacbc其中（1）确定状态变量的初始值：由（1）得111122133(0)(0)(0)(0)ypzpzpz（2）112233zazuzbzuzczu对（1）式两边取导数得111122133ypzpzpz（3）将式带入（3）式ZAZBU111122133()()()ypazupbzupczu取t=0得111213111122133(0)()(0)(0)(0)(0)ypppuapzbpzcpz对（3）式两边取导数得111122133ypzpzpz111213111122133()ypppuapzbpzcpz取t=0得111213111213222111(0)122133(0)()(0)()(0)(0)(0)ypppuapbpcpuapzbpzcpz联立三式得123(0),(0),(0)zzz状态方程标准化，将A、B矩阵代入下式(1)()()()()()()mmZnTZnTunTun其中1(1)001()00,()(1)001(1)atatbtbtmctcteaeTeTebeec2221(1)1()(1)1(1)atatmatTeaaTTebbTecc离散输出方程为111122133(1)(1)(1)(1)ynpznpznpzn求初始值的方法2：112233zazuzbzuzczu（5）2()()()()()YsdsesfUssasbsc状态变量的初始值，可以根据环节在初始状态的稳态输出和稳态输入直接由（5）所给定的参数确定。(0)y(0)u根据得到(0)(0)abcuyf令S=0即t=∞根据（5）得状态变量得稳态初始值1231(0)(0)(0)1(0)(0)(0)1(0)(0)(0)bczuyafaczuybfabzuycf2.滞后环节传递函数01()()()hhTsasYseeUs其中01hh滞后时间得整数部分(以采样周期T为基本单位)滞后时间得小数部分取Z变换得01()()()hhYzzUz差分方程为01()()ynunhh下面分两种情况讨论上式得解法及其程序实现：（1）a为T的整数倍（）10h0()()ynunh仿真方法：在内存中设置一个区域，存放输入U过去的采样值。该区域占用（）个单元，从左向右，其编号为0，1，2，…，，。02h0h01h012……0h01h()un(1)un0(1)unh0()unh每一次计算，首先将该时刻的输入存入单元，然后从第一单元取出，作为该时刻的输出。最后各单元向左平移一次。01h（2）a不为T的整数倍（）10h近似处理法：从1号单元和0号单元取出2个数值并加以差值，得到采用线性差值法，即假定1号和2号两个单元之间的数据是按线性规律变化。()yn1010()(1)()(1)ynhunhhuh近似公式为：如，即表示012.25hh012,0.25hh()0.75(2)0.25(3)ynunu4.3控制系统结构图的数值表示方法仿真方法：将系统看成是由若干环节构成，仿真时先将各典型环节的参数及各环节的连接关系输入计算机，由计算机程序构成系数矩阵，再用四阶龙格－库塔方法对构成的状态方程进行仿真计算。又称为连续系统结构图法仿真。优点：由于输入参数是各环节的参数，可以直接求出各环节的输出，方便地研究环节参数变化对系统地和环节本身的影响，避免了求整体传递函数的问题。1.仿真模型1）典型环节的确定一个控制系统的结构图通常由一些不同的环节组成，一般常见的环节如下：12122211121kskskskTsTskTskTSTs积分环节：比例－积分环节：惯性环节：比例－惯性环节：振荡环节：为了编程的方便，各典型环节可用一个典型环节来表示。选定的典型环节应具有如下特点：1）具有典型性，即能用它来描述较多的环节类型，保证所编制的环节有较大的通用性。2）环节的结构简单，用它编制的程序简单、易于计算。选定比例－惯性环节作为典型环节。(),(1,2,,)iiiiiCDsGsinABs比例－惯性环节的传递函数通过改变系数可以转化为其它常用环节。振荡环节的特征方程因式分解后分为三种情况：1）实根时，用两个串联的惯性环节替代；2）共轭复根时，用两个串联的惯性环节加负反馈替代；3）一般复根时，采用积分环节和惯性环节串联加负反馈替代；12s11s21()33Gsss以为例，存在特征根－1.5+和-1.5-32j32j等效环节一221kTsTs112Ts12Ts等效环节二--2.传递函数的矩阵表达式用n个典型环节描述n阶控制系统的传递函数表达式为(),(1,2,,)iiiiiCDsGsinABs将其转换成一阶微分方程组形式为()()()()iiiiiABsysCDsus对每个环节列写出对应的传递函数为11111112222222()()()()()()()()()nnnnnnnysCDsGsusABsysCDsGsusABsysCDsGsusABs111111222222()()()()()()()()()()()()nnnnnnABsysCDsusABsysCDsusABsysCDsus改写成一阶微分方程组形式矩阵方程形式()()ABsYCDsU其中12000000nAAAA12000000nBBBBC矩阵与D矩阵类似。A,B,C,D都是n×n维的系数矩阵，u和y分别为输入与输出的列向量。3.连接矩阵连接矩阵：就是用矩阵形式表示各个环节之间的关系。5()Gs3()Gs4()Gs1()Gs2()Gs244－+－－0y2y1y3y4y5y4u3u2u1u该系统由5个环节构成。5u环节之间的连接关系：10442122532444353uyyuyyyuyyuyuy写成矩阵方程形式11422233044455000011001001000001000001000uyuyuyyuyuy向量形式00UWYWY其中，W为系统的连接矩阵，反映了系统中各环节之间的连接关系，每个元素表示系统中第个环节的输出对第个环节的输入之间的连接关系。ijwji1表示直接连接；负号表示反馈；0表示没有直接连接关系。为外部连接矩阵，元素表示外加输入信号与第个环节输入端的连接关系。0iw0yiiu0W4.控制系统的状态方程00UWYWY将拉氏变换00()()()UsWYsWYs代入()()ABsYCDsU得到00()()()(()())ABsYsCDsWYsWYs展开合并得0000()()()()()()sBDWYsCWAYsCWYsDWYss拉氏反变换得到0000()()BDWYCWAYCWyDWy令1020QBDWRCWAVCWVDW则1020QYRYVyVy当的逆矩阵存在时Q1111020YQRYQVyQVy当输入函数是阶跃函数时，在t=0瞬间出现一个无穷大的迈脉冲，方程右端第三项将趋于无穷大，系统求解不方便。为此，需要增加限制条件，当输入函数为脉冲函数时使式中的第三项为零。即11200QVQDW200VDW令反映输入作用函数与被作用环节之间的连接关系，实际上只要限制输入作用函数作用的环节的，即该环节的传递函数不应具有导数项。0W0iD则111AQRBQV令0YAYBY标准型的状态方程。4.4非线性系统的仿真非线性环节包括：饱和非线性、分段线性的非线性、失灵区非线性、间隙非线性、继电非线性、具有死区的继电非线性、具有滞环的继电非线性、具有死区和滞环的继电非线性。1.饱和、分段线性及失灵区非线性特性1h0h1c1cinuoutu1h表示第一段的斜率，表示第二段的斜率，为拐点的横坐标，0h1c分段线性的非线性特性数学描述：10110111,;,(1),()inoutinininoutinucuhuucucuhchuc0111(2)()outinuhchuc当时，得到饱和非线性；当时，得到失灵区非线性。10h00h2.间隙非线性特性inuoutu1c1c间隙非线性特性设为前一次输入，为前一次输出，间隙非线性数学描述0inu0outu当0,ininuuand01outinuuc则1outinuuc系统工作在右边的特性上。当0,ininuuand01outinuuc1outinuuc则系统工作在左边的特性上。其他情况0outoutuu系统工作在中间过渡的特性上。注意点：存储本次的输入与输出。3.继电非线性及具有死区的继电非线性(略)4.具有滞环的继电非线性1h1hinuoutu1c1c具有滞环的继电非线性特性5.具有死区和滞环的继电非线性特性inuoutu1h1h0h0h1c1c具有死区和滞环的继电非线性特性4.5仿真误差与数值稳定性仿真误差和数值稳定性均与计算方法、机器精度、步长的选择有关。当计算方法和机器选定以后，则仅仅与步长的选择有关，所以在仿真中，步长是一个重要的参数。仿真误差有截断误差和舍入误差两种。计算步长愈小，截断误差也愈小；舍入误差愈大。在实际解决问题时，通常是根据系统响应的速度由经验确定。采样频率一般可取。其中为被仿真系统开环频率特性的剪切频率。当系统有小闭环时，为反映最快的小闭环开环频率特性的剪切频率。(1050)sccc采样周期取为2(1050)cT原系统稳定而仿真结果不稳定时原因有两种：1）仿真模型本身不稳定，当采样周期大到某一定值后系统不稳定；2）由舍入误差引起的数