【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《导数的应用》2

【2014年高考会这样考】1．利用导数求函数的极值与闭区间上的最值．2．利用导数解决生活中的优化问题.第3讲导数的应用（二）抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考限时规范训练函数的极值函数的最值利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤考向一考向二考向三利用导数解决函数与方程、不等式等综合问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】利用导数解决生活中的优化问题利用导数求函数的最值利用导数求函数的极值选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、考点梳理1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．f′(x)0f′(x)0f′(x)0极大值考点梳理2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．最小值最大值f(a)，f(b)考点梳理3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．助学微博一个区别极值与最值的区别极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在开区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．助学微博两个注意三个防范(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．(2)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取极值的既不充分也不必要条件．如①y＝|x|在x＝0处取得极小值，但在x＝0处不可导；②f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．(3)若y＝f(x)可导，则f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取极值的必要条件．1．(2012·陕西)设函数f(x)＝xex，则()．A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点2．(2012·全国)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()．A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或13．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到9点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数表示：y＝－18t3－34t2＋36t－6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()．A．6B．7C．8D．94．(2012·重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()．A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)5．如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断：①f(x)在[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；④x＝3是f(x)的极小值点．其中正确的判断是________(填序号)．单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测DACD②③12345【例1】►(2012·广东)设0a1，集合A＝{x∈R|x0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a0}，D＝A∩B.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．解(1)令g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，其对称轴方程为x＝34(1＋a)，Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)①当0a≤13时，Δ≥0，x＝34(1＋a)0，g(0)＝6a0，方程g(x)＝0的两个根分别为0x1＝3a＋3－9a2－30a＋94x2＝3a＋3＋9a2－30a＋94，[审题视点](1)从集合B中的一元二次不等式的解法入手，抓住其判别式的正负对解集的影响来讨论即可；(2)结合第(1)问，再运用数形结合法，讨论f(x)的单调性即得其极值.考向一利用导数求函数的极值∴D＝A∩B＝0，3a＋3－9a2－30a＋94∪3a＋3＋9a2－30a＋94，＋∞；②当13a1时，Δ0，则g(x)0恒成立，所以D＝A∩B＝(0，＋∞)．综上所述，当0a≤13时，D＝0，3a＋3－9a2－30a＋94∪3a＋3＋9a2－30a＋94，＋∞；当13a1时，D＝(0，＋∞)．(2)f′(x)＝6x2－6(1＋a)x＋6a＝6(x－a)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝1.考向一利用导数求函数的极值[审题视点](1)从集合B中的一元二次不等式的解法入手，抓住其判别式的正负对解集的影响来讨论即可；(2)结合第(1)问，再运用数形结合法，讨论f(x)的单调性即得其极值.①当0a≤13时，由(1)知D＝(0，x1)∪(x2＋∞)．因为g(a)＝2a2－3(1＋a)a＋6a＝a(3－a)0，g(1)＝2－3(1＋a)＋6a＝3a－1≤0，所以0ax11≤x2，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，a)a(a，x1)(x2，＋∞)f′(x)＋0－＋f(x)极大值所以f(x)的极大值点为x＝a，没有极小值点．考向一利用导数求函数的极值[方法锦囊]运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．②当13a1时，由(1)知D＝(0，＋∞)，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，a)a(a,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值点为x＝a，极小值点为x＝1.综上所述，当0a≤13时，f(x)有一个极大值点x＝a，没有极小值点；当13a1时，f(x)有一个极大值点x＝a，一个极小值点x＝1.考向一利用导数求函数的极值[方法锦囊]运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．【训练1】(2013·徐州模拟)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．解(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，故有f′2＝0，f2＝c－16，即12a＋b＝0，8a＋2b＋c＝c－16，化简得12a＋b＝0，4a＋b＝－8，解得a＝1，b＝－12.考向一利用导数求函数的极值[方法锦囊]运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,2)时，f′(x)0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.考向一利用导数求函数的极值[方法锦囊]运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．[审题视点][审题视点](1)求f′(x)，解不等式f′(x)0得函数增区间，解f′(x)0得函数减区间．(2)由零点存在性定理列出不等式组求出a的范围．(3)求极值、端点值，进行比较得最值．考向二利用导数求函数的最值【例2】►(2012·天津)已知函数f(x)＝13x3＋1－a2x2－ax－a，x∈R，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；(3)当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值．解(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．[审题视点][审题视点](1)求f′(x)，解不等式f′(x)0得函数增区间，解f′(x)0得函数减区间．(2)由零点存在性定理列出不等式组求出a的范围．(3)求极值、端点值，进行比较得最值．考向二利用导数求函数的最值(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间