【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《平面向量的概念及其线性运算》

【2014年高考会这样考】1．在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则．2．考查平面向量的几何意义及共线向量定理的应用．第1讲平面向量的概念及其线性运算抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练向量的有关概念向量的加法与减法向量的数乘运算及其几何意义共线向量定理考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】共线向量定理的应用平面向量的有关概念平面向量的线性运算选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、准确把握平面向量的概念和运算单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲1．向量的有关概念考点梳理(1)向量：既有大小，又有______的量叫向量；向量的大小叫做向量的________(2)零向量：长度为_______的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于_________的向量．(4)平行向量：方向相同或______的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且_____相同的向量．(6)相反向量：长度相等且_____相反的向量．方向模01相反方向方向2．向量的加法与减法考点梳理三角形b＋ɑ.ɑ＋(b＋c)平行四边形三角形向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a+(-b)=a-b考点梳理3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向______；当λ＜0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.相同相反一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量一个规律助学微博一个结论△ABC中，若D为BC的中点，则AD→＝12(AB→＋AC→)．一个区别向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形．1．若向量a与b不相等，则a与b一定()．A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()．A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线3．(2012·全国)△ABC中，AB边的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝()．A.13a－13bB.23a－23bC.35a－35bD.45a－45b4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→等于()．A．－BC→＋12BA→B．－BC→－12BA→C.BC→－12BA→D.BC→＋12BA→5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解12考点自测CDDA12345【例1】►给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．【审题视点】解考向一平面向量的有关概念以概念为判断依据，或通过举反例①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此，AB→＝DC→.【例1】►给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．考向一平面向量的有关概念【方法锦囊】准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时,即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件,而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.【训练1】给出下列四个命题：①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．其中所有正确命题的序号是________．解由于零向量与任一向量都共线，所以命题①中的b可能为零向量，从而不正确；考向一平面向量的有关概念由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题④不正确；③正确．综上所述，正确命题的序号是③．【审题视点】以概念为判断依据，或通过举反例．【方法锦囊】准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．【审题视点】考向二平面向量的线性运算【例2】►如图，在梯形ABCD中，|AB→|＝2|DC→|，M，N分别是DC，AB的中点．若AB→＝e1，AD→＝e2，用e1，e2表示DC→，BC→，MN→.解析(1)DC→＝12AB→＝e12.结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算【方法锦囊】用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(2)BC→＝BA→＋AC→＝－AB→＋AC→＝AD→＋DC→－AB→＝AD→－12AB→＝e2－12e1.(3)MN→＝MD→＋DA→＋AN→＝－14AB→－AD→＋12AB→＝14AB→－AD→＝14e1－e2.【训练2】如图，在△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AE→，BC→，DE→，DN→，AM→，AN→解析DE→∥BC→，AD→＝23AB→⇒AE→＝23AC→＝23b，考向二平面向量的线性运算BC→＝AC→－AB→＝b－a.由△ADE∽△ABC，得DE→＝23BC→＝23(b－a)．又AM是△ABC的边BC上的中线，DE∥BC，∴DN→＝12DE→＝13(b－a)．AM→＝AB→＋BM→＝a＋12BC→＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．由△ADN∽△ABM，AD→＝23AB→，⇒AN→＝23AM→＝13(a＋b)．【例3】►设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．考向三共线向量定理的应用∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．(1)证明【审题视点】(1)先证明AB→，BD→共线，再说明它们有一个公共点；【方法锦囊】共线向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．(2)利用共线向量定理列出方程组求k.∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)解假设ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.【训练3】若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？考向三共线向量定理的应用设OA→＝a，OB→＝tb，OC→＝13(a＋b)，∴AC→＝OC→－OA→＝－23a＋13b，AB→＝OB→－OA→＝tb－a.解【审题视点】【方法锦囊】共线向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．利用共线向量定理列出方程组求k.要使A，B，C三点共线，只需AC→＝λAB→.即－23a＋13b＝λtb－λa.∴有－23＝－λ，13＝λt，⇒λ＝23，t＝12.∴当t＝12时，三向量终点在同一直线上.方法优化6——准确把握平面向量的概念和运算揭秘3年高考【命题研究】通过近三年的高考试题分析，平面向量的概念和运算时常以选择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，命题的出发点主要是以平面图形为载体表达平面向量、借助向量表达相交或共线等问题．借助平面几何、解析几何等知识，考查线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件，或以向量为载体求参数的值．揭秘3年高考【示例】►(2012·浙江)设a，b是两个非零向量．()．A.若|a＋b|＝|a|－|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|思路1：【教你审题】根据选项逐个进行排除思路2：将模的运算转化为数量积的形式进行分析．一般解法：(排除法)选项A，若b＝－a，则等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，显然a⊥b不成立；选项B，若a⊥b且|a|＝|b|，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D，若b＝a，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．综上，A，B，D都不正确，故选C.(数量积法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即2a·b＝－2|a|·|b|，而a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝－1.又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π，即a，b为方向相反的共线向量．故C正确．优美解法：【反思】在高考结束后，了解到部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|a＋b|＝|a|－|b|”在处理过程中误认为“|a＋b|＝|a－b|”，从而得到“a⊥b”这个错误的结论．解析：【试一试】在△OAB中，OA→＝a，OB→＝b，OD是AB边上的高，若AD→＝λAB→，则实数λ＝()．A.a·a－b|a－b|B.a·b－a|a－b|C.a·a－b|a－b|2D.a·b－a|a－b|2由AD→＝λAB→，∴|AD→|＝λ|AB→|.又∵|AD→|＝|a|cosA＝|a|·a·a－b|a||b－a|＝a·a－b|b－a|，|AB→|＝|b－a|，∴λ＝a·a－b|b－a|2＝a·a－b|a－b|2.故选C.答案C揭秘3年高考解析由2OA→＋OB→＋OC→＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO→＝OD→.答案A一、选择题题号点击题号出答案单击显：题干/详解2．已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()．A．a－b＋c－d＝0B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝03．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→＋2OC→＝3OB→，则|BC→||AB→|的值为()．A.12B