随机前沿生产函数讲义

随机前沿生产函数一、引言•生产率和效率的度量涉及到生产函数。DEA方法的特点是将有效的生产单位连接起来，用分段超平面的组合也就是生产前沿面来紧紧包络全部观测点，是一种确定性前沿方法，没有考虑随机因素对生产率和效率的影响。随机前沿生产函数则解决了这个问题。前沿生产函数(FrontierProdutionFunction)反映了在具体的技术条件和给定生产要素的组合下,企业各投入组合与最大产出量之间的函数关系。通过比较各企业实际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合效率。传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均产出之间的关系,称之为平均生产函数。但是1957年,Farrell在研究生产有效性问题时开创性地提出了前沿生产函数(FrontierProdutionFunction)的概念。对既定的投入因素进行最佳组合,计算所能达到的最优产出,类似于经济学中所说的“帕累托最优”,我们称之为前沿面。前沿面是一个理想的状态,现实中企业很难达到这一状态。前沿生产函数的研究方法有:参数方法和非参方法。两者都可以用来测量效率水平。参数方法沿袭了传统生产函数的估计思想,主要运用最小二乘法或极大似然估计法进行计算。参数方法首先确定或自行构造一个具体的函数形式,然后基于该函数形式对函数中各参数进行计算;而非参数方法首先根据投入和产出,构造出一个包含所有生产方式的最小生产可能性集合,其中非参数方法的有效性是指以一定的投入生产出最大产出,或以最小的投入生产出一定的产出。这里所说的非参数方法是结合DEA(Data数据包络分析)来进计算的。但非参数方法存在的最大局限是:该方法主要运用线性规划方法进行计算,而不像参数方法有统计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考;另外,非参数方法对观测数有一定的限制,有时不得不舍弃一些样本值,这样就影响了观测结果的稳定性。因此,我们在这里选择参数方法进行前沿生产函数的计算。在参数型前沿生产函数的研究中,围绕误差项的确立,又分为随机性和确定性两种方法。首先,确定性前沿生产函数不考虑随机因素的影响,直接直接采用线性规划方法计算前沿面,确定性前沿生产函数把影响最优产出和平均产出的全部误差统归入单侧的一个误差项ε中,并将其称为生产非效率;随机前沿生产函数(StochasticFrontierProductionFunction)在确定性生产函数的基础上提出了具有复合扰动项的随机边界模型。其主要思想为随机扰动项ε应由v和u组成,其中v是随机误差项,是企业不能控制的影响因素,具有随机性,用以计算系统非效率;u是技术损失误差项,是企业可以控制的影响因素,可用来计算技术非效率。很明显,参数型随机前沿生产函数体现了样本的统计特性,也反映了样本计算的真实性二、确定性前沿生产函数测算全要素生产率的传统方法是索洛余值法(SRA),其关键是假定所有生产者都能实现最优的生产效率,从而将产出增长中要素投入贡献以外的部分全部归结为技术进步(technologicalprogress)的结果,这部分索洛剩余后来被称为全要素生产率(李京文等1998)。然而,SRA法的理论假设不完全符合现实,因为现实经济中大部分生产者不能达到投入—产出关系的技术边界(Farrell,1957)。基于这一思想,Aigner和Chu(1968)提出了前沿生产函数模型,将生产者效率分解为技术前(technologicalfrontier)和技术效(technicalefficiency)两个部分,前者刻画所有生产者投入—产出函数的边界(frontieroftheproductionfunction);后者描述个别生产者实际技术与技术前沿的差距。确定性前沿生产函数模型如下：Y()exp()fXu其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和之间，反映了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与最大产出的距离。在确定了生产函数的具体形式后，可以计算或估计其参数，如下所述。假如N个公司，每个公司使用K种投入组成的投入向量来生产出单一产出，生产函数采用C-D形式：（1）ixiy,()iiLnyxu1,2,,iN(1)式中是产出的自然对数；是K+1维行向量，其中一个元素是1，其余K个元素K种投入数量的自然对数.是待估计的K+1维列向量；是非负的随机变量，用来度量技术的有效性：（2）()iLny01(,,,)Kiuexp()exp()exp()exp()iiiiiiiTEyxxuxuix是一种产出导向的效率度量，其值介于0和1之间，它是观察到的产出与使用同样投入并且由技术有效的公司生产的之比，参数由下述方程得出。1.目标规划方法（3）iTEiyexp()ix11minmin()NNiiiiiuxLny••••它等价于：（4）st0iiiuxLny1,2,,iN11min()min()NNiiiixxstiixLny1,2,,iN参数也可以由下列二次规划问题计算得出：（5）上述目标规划的主要缺点是其参数是计算的而不是估计的，无统计解释。如果假设服从指数分布，2211minmin()NNiiiiiuxLnyst0iiiuxLny1,2,,iNiu则线性规划“估计”就是最大似然估计：1()exp(),iiuuufu111()()exp(),NiNNiiiuuuLfu11lnln,NuiiuLNu1maxminiNiLiffu•如果假设服从正态分布，则二次规划“估计”就是最大似然估计：•其中C代表常数iu222()exp(),22iiuuufu1(),NiiLfu2211ln,2NiiuLCu21maxminNiiLiffu上述“解释”给予目标规划方法一个清晰的统计基础，但这些计算的参数仍然像估计的参数那样有标准差。2.修正最小二乘法（COLS）它分为两步：第一步，先用OLS估计（1）式：,()iiLnyxu1,2,,iN得到一致和无偏的斜率参数，以及一致和有偏的截面参数。第二步，有偏的截距参数被向上修正以保证估计的前沿是所有数据的上界：‘1,k00*00ˆˆˆmax,iiu*ˆˆˆmaxiiiuuu*ˆexp()iiTEuCOLS估计的生产前沿平行于OLS回归（以自然对数形式），意味着最好的生产技术的结构与中心（平均）趋势的生产结构一致，这是COLS的缺陷，应当允许处于生产前沿上的有效率的公司的生产结构不同于位于平均位置的公司的生产结构。三、随机前沿生产函数由于确定性前沿生产函数没有考虑到产活动中存在的随机现象，Aigner，ovell，Schmidt(ALS)和Meeusen,vandenBroeck(MB)同时于1977年引进了随机前沿生产函数（1）()exp()YfXvu其中v代表影响生产活动的随机因素，一般假设它是独立同分布（i.i.d)的正态随机变量，具有0均值和不变方差；代表随机前沿生产函数；u(非负)代表着生产效率或管理效率，一般假设它是独立同分布的半正态随机变量或指数随机变量独立于。假设生产函数取C-D形式：（2）在上述v和u的假设下，可以使用最大似然法（ML）或调整最小二乘法（MOLS）估计参数和误差项，进而得到技术效率，如下所述。()exp()fXv0v0lninniiinLnyXvu1,2,.iIiivuexp()iiTEu1.正态——半正态模型的ML估计假设：（1）（2）（3）和的分布相互独立，且与解释变量相互独立。u,v的密度函数以及u和v的联合密度函数，u和的联合密度函数分别是:2(0,)ivviidN2(0,)iuuiidNiviuvu222()exp()22uuufu221()exp()22vvvfv22222(,)exp()222uvuvuvfuv22222()(,)exp()222uvuvuufu2202()(,)()exp()22ffudu是标准正态分布函数（3）于是可给出参数、、的ML估计，从而得到、以及技术效率的估计：(.)1222(),uv,uvuv(exp()):iiTEEu1()IiiLF221121lnlnlnln()22IIiiiiILI,,,,uvML(,)(|)()fufuf*2*2***1()exp1(),22u22*,u2222*,uv(exp|)iiiTEEu2*******1()1exp,1()2iii2.正态——指数模型的ML估计假设：（1）（2）指数分布（3）和的密度函数以及u和v的联合密度函数、和的联合密度函数分别是：2(0,)ivvNiuiidiviuuvu1()exp(),uuufu221()exp(),22vvvfv于是可给出参数、、的ML估计以及技术效率的估计：222(,)exp(),22uvuvuvfuv222()(,)exp(),22uvuvufu2201()(,)()exp(),(5)2vvuuvuuffuduuv(exp()):iiTEEu1()IiiLF22111lnln()ln(),2IIviiiiuuLIIA,,,uvML(,)(|)()fufuf221()exp,22()vvuiivA2(),iivu3.正态——半正态模型的矩估计（MOLS）此时的假设与正态——半正态模型的ML估计的假设一样，模型是：（7）首先，模型（7）具有0均值和不变的方差，因而可用OLS得到参数的一直估计，的OLS估计不是一致的。(exp|)iiiTEEu2*******1()1exp,(6)1()2iii0ln()ln()iinniiiinYEuXvuEun0()iEu其次，用矩方法得到和的方差估计：是常数，iviu()2,iuEu2()(2),iuVu33()2(14),uuEu()iEu()()iiiiiEuvuEu222(2)(())vuiiEE22(()(()))iiiiEEuEEum332(14)(())uiiEE33(()(())),iiiiEEuEEum再次，用的方差估计量来对OLS截距估计进行调整（MOLS）：最后用（6）式得到技术效率的点估计。关于这两种估计方法的比较，Olson,Schmidt,Waldman基于蒙特卡罗试验的基础上指出：选择哪种估计反复取决于值和样本大小。当容量400且3.16时，矩估计优于ML估计，当较大时，ML估计优于矩估计，并且随着样本容量2233(),2(14)um2222(1)vumiu002()iuEuiTE的增加，这种优势也增加。但是，由于MOLS估计的第一步没有使用分布假设，所以其第一步估计对和的分布是稳健的。下面利用随机前沿生产函数估计利润效率。假设生产前沿为：这里是产出数量，代表可变投入向量，代表固定投入向量，代表着产出导向的iviu(,,)*exp(),yfxzu12(,,),Nxxxx12(,,)Qzzzzyxzu技术无效率，利润最大化的一阶条件是：其中度量配置效率，0和