随机变量及其分布

1第二章随机变量§2.1随机变量的概念§2.2随机变量的分布§2.3二元随机变量§2.4随机变量函数的分布2掷一枚骰子，观察出现的点数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可以用1，2，3，4，5，6这6个数字来表示．从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可以用0，1，2，3这4个数字来表示．[掷骰子][产品检验]§2.1随机变量的概念3抛一硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面”两种，若用0表示出现正面，1表示出现反面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这两个数字来表示．从最长使用寿命为10000h的一批灯泡中，任取一个检验，观察使用寿命t．我们发现这个随机试验的可能结果为100000t[抛硬币][灯泡寿命]4为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律,有必要引入来描述随机试验的不同结果。随机变量设是随机试验E的样本空间,若对则称上的单值实函数X()为随机变量。随机变量一般用大写拉丁字母X,Y,Z,或小写希腊字母,,表示定义随机变量()X都有一个实数，每一个与之对应即,如果对随机试验的每一个结果都有一个实数与之对应，则称为随机变量．5随机变量：R上的映射,定义域：事件域随机性：随机变量X的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪一个值概率特性：X以一定的概率取某个值或某些值随机变量性质6有了随机变量之后,可用随机变量来表达随机事件：随机变量的函数一般也是随机变量。事件“某天9:00~10:00接到电话次数超过100次”可表示为：)100(X在同一个样本空间可同时定义多个随机变量：={儿童的发育情况}X()—身高,Y()—体重,各个随机变量之间可能有有关系,也可能没有关系——即相互独立。7离散型非离散型随机变量分类其中一种重要的类型为连续性随机变量引入随机变量的意义任何随机现象可被随机变量描述借助微积分方法进行深入分析8§2.2随机变量的分布一、离散型随机变量的分布定义若随机变量,的可能取值是有限个或可列个,则称为离散型随机变量可能取值为,,,,,,321kxxxx取每一个值),2,1(kxk的概率为，则下表称为1x2xkxP1p2pkp…………随机变量的概率分布，简称为的分布列kP设离散型随机变量()kkPxp概率分布也可简写为概率函数、分布律9概率分布的性质,2,1,0kpk非负性11kkp规范性例设有10件产品，其中正品、次品各5件。从中任取3件产品，设X表3件产品中的次品件数，试分析随机变量X的概率分布。一般所说的离散型随机变量的分布就是指其概率分布或概率函数10solution:依据概率函数的性质,有kkXP1)(P(X=k)≥0,1!0aekakka≥0解得即有：ea0kkke!example2.设随机变量X的概率函数为：试确定常数a.,!)(kakXPkk=0,1,2,…,011X=xk10(1)0–1分布Pkp1-p0p11,0,)1()(1kppkXPkk注：其分布律可写成常见的离散型随机变量的分布若试验只有两个可能的结果，总能用应用场景0–1分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、射击是否命中、电力消耗是否超标等等.12(2)二项分布n重Bernoulli试验中,X是事件A在n次试验中发生的次数,P(A)=p,若nkppCkXPkPknkknn,,1,0,)1()()(则称X服从参数为n,p的二项分布，记作),(~pnBX注：0–1分布是n=1的二项分布13设X为在任一时刻车床停车的台数，对12台车床的观察可看作12重伯努利试验，每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为1/3，每台车床由于工艺需要时常需要停车.求在任一指定时刻设每台车床的停(开)车是相互独立的，例某车间里有12台车床，(1)车间里恰有2台车床处于停车状态的概率;(2)处于停车状态的车床不少于2台的概率.解视在任一时刻对一台车床的观察为一次试验，=0.9461.则X~B(12,1/3).(1))2(XP=0.1272;(2))2(1XP)1()0(1XPXP11211120120012)32()31()32()31(1CCP(X2)2122212)311()31(C14因此这3次试验的条件完全相同且独立，现从中有放回地取3次，每次任取1个，,007125.0)95.0()05.0()2(223CXP解因这是有放回地取3次，且每次取次品的概率为0.05.设X为所取的3件产品中的次品数，则X~B(3,0.05)例已知100个产品中有5个次品，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.它是3重伯努利试验，问若将本例中的“有放回”改为“无放回”，怎么办？.00618.0/)2(310025195CCCXP伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重伯努利试验中出现“成功”次数X的概率分布,A（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或（3）各次试验相互独立；()()1.ppPAPA不是伯努利概型，只能用古典概型求解.15若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10000个人参加这类人寿保险，试求在未来一年中在这些保险者里面：⑴有40个人死亡的概率;⑵死亡人数不超过70个的概率.记X为未来一年中在这些人中死亡的人数，则~(10000,0.005)XB(1){40}PX40409960100000.0050.995C0.0214(2){70}PX70100001000000.0050.995kkkkC0.99716(3)Poisson分布若,2,1,0,!)(kkekXPk其中0是常数，则称随机变量X服从参数为的Poisson分布.或)(~X)(P记作应用场景：在某个时段内：超市的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.某容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；17example：一电话交换台每分钟接到呼唤次数服从参数为的泊松分布，求每分钟有8次呼唤的概率。~)4()(PP0298.0!84)8(48eP实际计算时可查泊松分布表—查表的介绍Solution:18example5.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率函数.solution:显然，X可能取的值是1,2,…，P(X=1)=P(A1)=p,为了计算P(X=k)，k=1,2,…，Ak={第k发命中}，k=1,2,…，设于是pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp2)1(,2,1kppkXPk1)1()(可见这就是求所需射击发数X的概率函数.几何分布19对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说离散型随机变量由它的概率函数唯一确定.20()(),FxPxx二、随机变量的分布函数定义)()(aFbF（]ab]]（]()Pab()Pa()Pb为的分布函数.设为随机变量,x是任意实数,称函数由定义知落在区间(a,b]里的概率可用分布函数来计算：由于F(x)是取的诸值xk的概率之和，故又称F(x)为累积概率函数.x21分布函数的性质F(x)单调不减，即)()(,2121xFxFxx1)(0xF且0)(lim,1)(limxFxFxxF(x)右连续，即)()(lim)0(0xFtFxFxt22])()([lim0aFaF利用分布函数求事件的概率;)()()(aFbFbXaP;)(1)(aFaXP0lim()Paxa)0()()()(aFaFaFbF)(aXP)(bXaP}){}({aXbXaP)()(aXPbXaP.a)(lim)(0aFaF)0(aF;)0()(aFaF;)0()(aFbF;;;XaXaXa()PaXb)()(bXPbXaP)0()()0()(bFbFaFbF()()00;FbFa()()();PXaPaaXPX()()()PXaPaaXPX()()[(0)]FaFaFa()0;Fa1()()(0)FaFaFa1(0)Fa利用分布函数可求随机变量在任意区间上取值的概率利用F(x)可求任一随机事件的概率!!!只要知道X的分布函数,X的概率统计特性就可以得到全面的描述.a-233,2,1,0),1()(kppkXPksolution：4,)4(4kpXPexample1设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过，令X表示首次停下时已通过的信号灯盏数。求X的概率分布与p=0.4时的分布函数.概率分布为24•0•1•2•3•4xx]],4.06.06.021x,6.010x,00x,4.06.04.06.06.0232x),4.04.04.01(6.03243x14x)(xF]•]••kpk012340.60.40.60.420.60.430.60.44当4.0p)(xXP25当x0时，{Xx}=，故F(x)=031当0x1时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)=F(x)=P(Xx)solution:求分布函数F(x).example.X012Pk1/31/61/2当1x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=316121当x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=126故2,121,2110,310,0)(xxxxxF2161OOO)(xF120x3161211分布函数图27example()xxxxxxxF31321211213210200的分布函数为设随机变量X{}3XP试求：⑴．{}3XP⑵．{}1XP⑶．21XP⑷．{}42XP⑸．{}31XP⑹．28solution：{}()33FXP⑴．{}()033FXP⑵．{}()()0111FFXP⑶．21121FXP⑷．43411{}()()20442FFXP⑸．12112111){}()(010331FFXP⑹．125211211()xxxxxxxF3132121121321020029example设随机变量X的分布函数为solution：由分布函数的性质，我们有:()()xBarctgxAxF．、试求常数BA()BarctgxAxlim()xFxlim0BA2()BarctgxAxlim()xFxlim1BA21202BABA．，121BA30三、连续型随机变量的分布()()dxFxttx连续型随机变量的概念定义设X是随机变量,若存在一个非负可积函数，使得分布函数F(x)()x则称X是连续型随机变量，是它的概率密度函数(p.d.f.)，简称为密度函数或概率密度()x即分布函数是密度函数的变上限定积分.可以证明，连续型随机变量的分布函数是一连续函数．31-10-550.020.040.060.08xf(x)xF