等离子体天体2

2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)1第三章磁流体静力学写出运动方程如下：(3.1)gBJvdtdp其中电流为：设L,v0,L/v0为长度尺度、等离子体速度和时间的典型值，电流的典型值为J0=B0/(L)。则(3.1)式可以用典型密度(0)、压力(p0)和磁场(B0)来表示其中各项的大小：0v02/L，p0/L，B02/(L)，0g现在，如果磁力项具有最大效应，则若满足下式就可得到力平衡：其中vA称为Alfven速度。§3.1引言(3.2)B/J(3.3)2A0vBv02022002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)2式（3.1）退化为磁流体静力学平衡方程：mgnetohydrostatic(3.4)gBJ0p其中：其中H为压力标高：而称为等离子体，为等离子体压力和磁压之比：这时，(3.1)式中的第4项远小于磁力项，亦即：如果21，则（3.5)式中的磁作用力占主导地位，于是进一步退化为无力磁场：./0,,TpRBB/J(3.6)gT00RgpH式（3.4）中，若重力项可忽略，则又退化为静磁平衡方程：magnetostatic(3.5)BJ0pLB02/(0g)=2H/(3.7))2(200Bp(3.8)0BJ这时，磁场自身在磁压和磁张力的作用下平衡，为无力场，force-freefield。2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)3如图，考虑等离子体沿着磁力线的平衡问题。设重力垂直向下，则(3.4)平行于磁力线的分量为:带入：可以得到：即(3.9)中的p0是z=0处的压力值。若温度随高度的变化T(z)已知，则压力和密度均可求出。特别地，若等离子体是等温的（T=T0），则可得到：于是，压力和密度随着高度的增加指数下降，H是标高。(3.10)在光球，T=5000K，标高H150km，于是在1.5Mm的高度（色球层）上，压力和密度要下降exp(10)20,000倍。而在日冕中，T=2MK，标高约为100Mm。于是压力和密度下降不大。确实，在许多日冕问题中，当考虑的高度范围100Mm时，可忽略重力。2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)4若重力项和压力项均可忽略，则(3.8)自动成立的一个特殊情况是电流为0：(3.11)B0其中：设B=-∇,则(3.11)自动满足，(3.12)变成Laplace方程：则可以应用势场理论的许多结果：定理一：若在体积V的边界面S上给定法向磁场分量（Bn)，则在V内的势场解是唯一的。例如，在大的太阳耀斑发生时间，太阳表面的法向磁场变化不大，说明该耀斑的磁能源来自于剪切的无力磁场大于势场的多余能量部分。§3.2势场(3.12)B0(3.13)20ψ定理二：若在体积V的边界面S上给定法向磁场分量（Bn)，则具有最小能量的场是势场。作为练习，理解上述两个定理的推导。2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)5考虑几种势场解：（a）在x轴上给定Bn(x)时，空间任一点P处的磁场计算：类似的方法可用来计算平面或球面之上、而不仅仅是直线情况的势场。2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)6（b）直角坐标系中的分离变量法：这就是图3.3的磁力线结果。在|x|/(2k),z0时为描述日冕环势场结构的一个合理的模型。设：则由:可推出:其中k是常数，一种有用的解形式为：于是可得到磁场的解为:2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)7（c）球坐标系中的分离变量法：Laplace方程的解为：其中Plm是连带勒让得（Legendre）多项式。若与无关，则上式简化为：类似地，柱坐标下的一般解为:其中Pl是勒让得（Legendre）多项式。它们可应用于那些具有球几何形状的问题。（c）柱坐标系中的分离变量法：其中Jn和Yn是贝塞尔（Bessel）函数。若与z无关，则上式简化为：2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)8若重力项和压力项均可忽略，则有：(3.20)BJ0于是电流J=∇×B/与磁场应该平行，即：其中是空间位置的函数,这样的磁场称为无力场。但请注意：对(3.21)取散度，可得∇.∇×B=∇.(B)，即：方程(3.20)看起来异常简单，但迄今为止，人们对于其解的一般性质仍然了解甚微。§3.3无力磁场(3.21)BBBB0因为磁场无源，即∇.B=0，于是得到B.∇=0。这说明虽然一般是空间位置的函数，它在每根磁力线上只有一个值。2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)9若对(3.21)取旋度，可得∇×(∇×B)=∇×(B)，或：BBB-B2)(因为∇.B=0，并带入(3.21)式，得到：通常，(3.22)式不一定比原方程(3.21)简单，因为在这里B的三个分量耦合起来了。原问题：(3.21)或(3.22)及无散条件∇.B=0，在边界条件下的解（若存在）可表示为：最近，我们首次建立了方程(3.22)的等效边界积分方程表示，成为一般无力磁场计算的基本方法之一（Yan&Sakurai,SolarPhysics,v195,p89,2000)。其中：(3.22)BBB-22原问题：等价为BIE：其中满足：2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)11在特殊情况下，若处处是常数，则(3.22)退化为：(3.23)0B)22(其解就是所谓的“常”或线性无力场。可将解势场问题的方法推广应用来求解上式。（3.23）是线性方程，于是可以应用叠加原理进行求解。但要注意，两个不同常数的线性无力场的相加结果不再是线性无力场。请作为练习，对此加以说明。虽然关于无力场的一般性质所知甚少，仍然有几个基本定理使我们可以了解无力磁场结构的特性。以下介绍无力场的几个性质：（i）若在一个单连通空间V的表面S上给定磁通量分布和拓扑连接关系，并且磁场具有最小能量，则该磁场是无力场。但反之则不然，即无力场不一定具有最小能量。（ii）若在空间V内和表面S上，J×B处处为零，则磁场B恒为零。因此，一个在V内为非平凡（即非零）的无力场必须在表面S上具有力。换句话说，无力场是可能存在的，但他们必须在边界上扎根。不可能从完全局限在某个区域内的电流来构造无力场。见与Priest教授的讨论。2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)12与EricPriest教授的通信Date:Mon,4Mar200214:52:26+0800(CST)From:[e-mail]:[e-mail]:inquiryDearEric,NowIhaveaquestionandIwouldliketohearyouoriginalideas:Onpage31,aboutsomepropertiesofforce-freefields.It'ssaid:(ii)IfJxBvanisheseverywherewithinVandonS,thenthemagneticfieldBisidenticallyzero.Thus,anontrivial(i.e.non-zero)fieldthatisforce-freeinsideVmustbestressedsomewhereonS....“Iunderstandthefollowing-upexplanationsandIknowifVisinfiniteBshouldbezeroeverywhere.ButforVisfinite,withtheavailableanalyticsolutionsof3dforce-freefields(e.g.,Low&Lou,1990,orCuperman&Ditkowski,1991),itispossibletoencloseafinitevolumeVwithsurfaceSintheexteriorofthesingularitiesofthesesolutions,ifany.ThenonecouldobtainJxBvanisheseverywhereinVandonSbutBisnotzero.Ilookforwardtohearingfromyouandbestregards,YihuaDate:Mon,4Mar200211:40:49+0000From:[e-mail]:[e-mail]:Re:inquiryDearYihuaIamsorrybutmydescriptionintheSaasFeproceedingswasabitmisleading.ThemainresultisthatforasimplevolumeifjXB=0inthevolumethentherehastobeastressontheboundarytoanchorthefield–iethestressproducedbythemaxwellstresstensorMacrosstheboundarymustbenonzerolocally.Ibelievethatforanyoftheexamplesyouquoteorforsimplerexamplessuchas1and2Dconstantalphafff,thisresultshouldalwayshold-youcancheckitandsee.Theproofissimple-eg0=int(jXB)dV=intM.dSsothetotalstressvanishes,butsinceMisnotidenticallyzerotheremustbeplacesontheboundarywhereM.dS0andotherswhereitis0Iwishyouwellwithyourcourse.Youwillfindagoodweb-basedMHDcourseat~alan/andanotherat~valery/Lectures/SolarMHDWithbestwishesEric2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)13(3.24)BAVdVK（iii）具有有限能量的磁场不可能处处是无力的。因此，一个非零无力场必须具有某种奇异性。例如，大家所熟知的势场就是由单极或偶极子产生的。其中B=∇×A，而最小能量状态是个线性无力场。（v）对于封闭空间V内的完全导电等离子体，磁螺度K是个守恒量：（iv）一个轴对称的、无力的轴向磁场只能是势场。因此，不可能构造出简单的极向无力场。磁螺度K是度量通量管的扭绞与交链的总效应的参数。于是对于两个相交链的通量管，有：(3.25)212222112FLFFθFθK其中1和2分别为两个通量管的扭曲度，F1和F2分别是磁通量,L是两个通量管的交链数。磁重联可将交链螺度转换为扭曲螺度，但总螺度不变。2002-3-21《等离子体天体物理》课程讲义(2)14(i)最简单的无力场解是一维场：其中一种解是：其y-和z-分量只是x的函数。由于磁力线是直的，磁张力为0。因此，J×B=0变成d/dx(By2+Bz2)=0，其解为：于是，磁力线处于与y-z平面平行的的平面上，并且沿着x-轴以常幅度旋转。特别地，对于常无力场，(3.21)的z-分量是dBy/dx=Bz或由(3.26)可推出:于是可得到满足By(0)=0的磁场的解为:(ii)可以用分离变量法来得到满足(3.21