小波变换基本原理

1第五章小波变换基本原理问题①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？—尺度②小波发展史③小波变换与短时傅里叶变换比较a．适用领域不同b.STFT任意窗函数WT（要容许性条件）④小波相关概念，数值实现算法多分辨率分析（哈尔小波为例）Daubechies正交小波构造MRA的滤波器实现⑤小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的5.1连续小波变换一．CWT与时频分析1.概念：dtabttSabaCWT)(*)(1),(2.小波变换与STFT用于时频分析的区别STFT小波变换基函数jwtemTtt)()()(*1)(abtat时频轴平移+调制（线性频轴）平移+伸缩a—尺度—对数频轴基函数特征包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定小波构造？1910Harr小波80年代初兴起Meyer—小波解析形式80年代末Mallat多分辨率分析—WT无须尺度和小波函数—滤波器组实现90年代初Daubechies正交小波变换90年代中后期Sweblews第二代小波变换2时频分辨率jwtemTt)(，[mT,w]附近awb0,附近适用情况渐变信号突变信号2轴spectrogramscalogram结果复数实数3.WT与STFT对比举例（Fig5–6,Fig5–7）二．WT几个注意的问题1.WT与)(t选择有关—应用信号分析还是信号复原2.母小波)(t必须满足容许性条件d)(①隐含要求)(,0)0(t即具有带通特性②利用C可推出反变换表达式dadbabtbaCWTaCtS)(),(11)(23.CWT高度冗余（与CSTFT相似）4.二进小波变换（对平移量b和尺度进行离散化）)2(2)()(1)(2,22,,nttabtatnbammnmbammdtttSnCWTdnmmmnm)(*)()2,2(,,5.小波变换具有时移不变性),()(),()(00bbaCWTbtSbaCWTtS6.用小波重构信号mnmnnmnmnmnmtdtdtS)(ˆ)(ˆ)(,,,,正交小波中心问题：如何构建对偶框架nm,ˆ3如何构建正交小波？5.2分段逼近学习目的—理解MRA一．分段逼近的引入PAMADC1.采样率增大的尺度体现其它,010,1)(tt用平移的)(t版本对S(t)作近似逼近函数)2(2)(ntnt)2(2)()()(S,1,0ntCtSntCtnnnn尺度21a一般式：nmmnmmantCtS2)2(2)(,2尺度)(,0,Sam逼近收敛于0,,0逼近am2.两尺度函数间关系)12()2()(ttt①张成空间满足10VV②两尺度空间差异在哪？3.表征细节的小波变换的引入信号近似tssfT1很显然采样率越高，sT越小，逼近误差越小，采样率无误差1t1111)(t21121111)12(t)2(t)(t空间张成0V空间张成1V4发现2)()()12(2)()()2(ttttttnnntCS)2(2)t(,112,2mmnmmmmmtCmtC)122()22(212,12,1mmmmmtmtCmtmtC2)()(2)()(212,12,1nnnmnnntCCntCCnm)(2)(212,12,112,12,1001WVV4.推广0120110110121m0,lim,1012Vm逼近精度逼近精度)2(22ntmm包含信息量决定形成最简单的MRA尺度1V)(t表细节2V1V1W1V0W0V0Vm=-1m=0m=1m=25二．分段逼近与小波变换（哈尔小波）1.信号的尺度逼近与小波表示尺度逼近nmnmmtSntC)()2(2,2小波表示mnmmnmntdtS)2(2)(2,Harr小波2.Harr小波特性①同一尺度平移正交性：)()(*)(nndtntnt②尺度，平移均正交nnmmmmmmnmnmdtntnttt,,2)(,,)2(*)2(2)(),(形成正交基)2(22ntmmdtnttSdmmnm)2(*)(22,影即为小波系数信号在正交基函数上投分段逼近的推广—MRA一．多分辨率分析含义①由内空间110mmmVVV组成②若0V空间尺度函数)(t平移正交：)()(*)(nntt则)(t为0V空间尺度函数,任一函数S(t)可用表示)(t③成立当且仅当1)2()(mmVtSVtS④00mmmVV交集为⑤平方可积空间即为并集逼近mV)(lim2RLVmm问题：Harr小波构成最简单MRA同尺度m也满足)()(*)(,,nndtttnmnm作变量替换即可证明dtnttSCntCtSnnn)(*)()()(6如何构造选其它具体的MRA体系二．正交小波函数的系统构造1.两尺度方程引入①低通滤波器与尺度关系Harr小波满足)12(21)2(212)12()2()(tttttnntnhth卷积关系满足)()(2)2(212100②频域反映令)2(2)2()()()()(00wtwtwHnh)()(00wwHh)()()2()()(2)2(200wwH即③含义a.LPFnhH为)(,1)0(00b．根据MRA，100)0()2()2()2()(kkwHwwHwc.1)0(2.QMF的引入①)(t的尺度正交关系的频域反映)()(*)(nntt)()(wentjnw频域也正交njnwndweww)()(*)(21两边对n求和ninwdweww1)(*)(217利用泊松求和公式nnjnwnwFenf)2()(（令)(2)(,1)(wwFnf则）有nnjnwnwe)2(2nnjnwnwe)2(21ndwn)2()(*)(ndwnww1)2()(2即：knkwnw1)2(1)2(22②QMF正交镜像滤波器组的导出利用两尺度关系kkwHkw1)2()2(20对k分奇偶讨论1))12(2())12(2()22()22(2020nnnwnwHnwnwH1))12(2()2()22()2(220220nnnwwHnwwH1)2()2(2020wHwH1)2(*)()(*)()()(00002020wHwHwHwHwHwH③含义a.镜像为)()(,1)(1)0(0000wHwHHHb.功率互补条件—半带条件)(*)()(00wHwHwP20)(wH1020)(wH83.正交小波滤波器满足的条件①频域关系根据0)(),(kxx可推出0)(*)()(*)(1010wHwHwHwH上式的解为)(*)(01wHewHjw②时域关系令njnwenhwHwHnhwHnh)()()()()()(0011根据)(*)1()1()()(*)1()1()(*)()1()(*)(0010010000wHenhnhwHenhwHnhwHnhjwnjwnn③易证QMFwH也为)(1④小波滤波器同样满足两尺度关系20111)2()2()2()2()()2()(2)(kkkwHwHwwHwktkht4.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示1001)()()()()(*)()()(11001010wHwHwHwHWHwHwHwH5.解释的与MRAttnmnm)()(,,mnmmnmVtWt)()(,,正交补112mmmdtttSdtdtSnmnmmnmnnm)(*)()()(,,,,29例：求Harr小波的频域尺度函数和小波函数2121212110hh解：2)2()2()2()(112120wwSinewCosewHwkkwjkwjknwjjwjnwwSinejeenhwH)2()1(21)()(2114)4()()2()2()(21wwSin其频域幅值图如Fig5–13所示可发现其缺陷在于波纹太大（原因—时域紧支撑）例：理想LPF也构成正交小波其它021)(0wwH解：)1()1(2)()(00nnSinwHIFTnh小波函数SincSinc)(三．有关小波函数的一些概念1.小波消失矩（vanishingmoment）满足阶消失矩具有则称NtNkdtttkmk)(1,1,0,0)()(1①母小波)(t平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则)(w频域衰减越快)(t越平滑②消失矩越大，小波振荡程度越高2.小波正则度（regularity）①定义：小波)(t的连续可导次数②正则度为n的小波)(t具有（n+1）阶消失矩（必要条件）四．问题讨论101.根据MRA理论①小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由)(0nh决定②不关心其解析表达式2.MRA理论离散小波的数值实现5.4小波变换与数字滤波器组一．时间离散小波变换的实现途径1.不能直接对定义式离散化实现)2(2),()(),(2,,nttSttSdmmnmnm令)(采样周期TkTl当m较小时，ntm2不为整数2.第一代小波变换：根据MRA理论，由数字滤波器组实现3.第二代小波变换：Swelden算法由预测和更新滤波器进行交替提升实现二．Mallat算法1.两个近似假设①nnmknknnknmnmtdtCtStS1,000)()()()(似由某一尺度空间函数近②nmC,由采样数据直接近似dtnttSCmmnm)2(*)(22,mmwjnmjnwwentwentwtm2)2()2()()()()(2滤波器组（Mallat算法）（根据尺度函数和小波函数）11)2(2)2(2222wentmwjnmmmmdwewwSCwnjmmnmm22,)2(*)(221当分辨率m足够高时0)2(*wmntmmmnwjmnmmmtSnSdwewSC22222,)(2)2(2)(212故可直接用样本数据取代2.Mallat算法①分解算法a.推导dtnttSdtnttSdtttSCmmmmnmnm)222(*)(2)2(*)(2)()(112