第12章整式的乘除知识点总结

第12章整式的乘除§12.1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则：am·an·ap·……=am+n+p+……（m、n、p……均为正整数）文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：2·3·4=2+3+4=9；(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；(2)3·(2)4=(2)3+4=(2)7；(a+b)3·(a+b)4·(a+b)=(a+b)3+4+1=(a+b)8（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。二、幂的乘方1、法则:(am)n=amn（m、n均为正整数）。推广：｛[(am)n]p｝s=amnps文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：(2)3=2×3=6；[(2)3]4=(2)3×4=(2)12；[(a-b)2]4=(a-b)2×4=(a-b)8（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：amn=(am)n，如：a15=(a3)5=(a5)3三、积的乘方1、法则：(ab)n=anbn（n为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(2)3=222=42；(2×3)2=(2)2×(3)2=2×3=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：anbn=(ab)n；如：23×33=(2×3)3=63，(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2四、同底数幂的除法1、法则：am÷an=am-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：4÷3=4-3=；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；(2)6÷(2)4=(2)6-4=(2)2=2；(a+b)16÷(a+b)14=(a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab+b2（2）注意a≠0这个条件。（3）注意该法则的逆应用，即：am-n=am÷an；如：ax-y=ax÷ay，(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3§12.2整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如：(-5a2b2)·(-4b2c)·(-23ab)=[(-5)×(-4)×(-23)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。如：22(3)(21)xxx=(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2x一(-3x2)·1=432363xxx三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b=ma+na+mb+nb§12.3乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4x2y2-a2；(a+b+)(a+b-)=(2xy)2-a2=4x2y2-a2；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。二、完全平方公式1、公式：(a±b)2=a2±2ab+b2；名称：完全平方公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(2+3)2=(2)2+2×2×3+32=2+62+9=11+62；(mn-a)2=(mn)2-2mn·a+a2=m2n2-2mna+a2；(a+b-)2=(a+b)2-2(a+b)+2=a2+2ab+b2-2a-b+2；（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。3、补充公式：(a+b+c)2=a2+c2+b2+2ab+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。§12.4整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如：-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c=-7ab2c（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3=（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y25（2a+b）4÷（2a+b）2=（5÷1）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)=4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)=4y-2x◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。§12.5因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。△具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。△(a-b)2n=(b-a)2n(n为正整数)；(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(n为正整数)；如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5a2+25a=-5a·a+5a·5=-5a(a+5)(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。△注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：102-92=(10+9)(10-9)=19×1=19；4x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；nnnnnnn8)1212)(1212(121222（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2；名称：完全平方公式。△注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：m2n2-2mna+a2=(mn)2-2mn·a+a2=(mn-a)2；x2+4xy+y2=x2+2·x·2y+(2y)2=(x+2y)2（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。四、补充分解法：1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。如：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)；x2+5x-6=x2+[6+(-1))]x+6×(-1)=(x+6)(x-1)2、“十字相乘法”如：2914xx=(x+2)(x+7)228xx=(x+2)(x-4)1212171-42+7=92+(-4)=-2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。