第12章第1节收敛定理

2020年2月25日星期二1五、傅里叶级数的复数形式cossin12nnntbntn傅里叶级数的n阶谐波a（，，）可以用复数形式表示，在讨论交流电路，频谱分析等问题时，利用这种形式可以简化计算1sin22iiiiieei（）=-（e-e），1cos2iiee欧拉公式（由），01cossin2nnnaantbnt得（）01222intintnnnnnaaibaibe（+e）.2020年2月25日星期二200,,(1,2,)nnnnnnacaibcaibcn如果记12intnnce则得傅里叶级数的复数形式.,(,)nnnnnnnaibcaibcc一对共轭复数为复振幅222222()cos()sinTTTTnnncaibftntdtiftntdtTT222()(1,2,)TintTftedtnT222()(1,2,),TintTnnncaibftedtnT同理五、傅里叶级数的复数形式2020年2月25日星期二320022(),:TTcaftdtT归结为一个形式为2222()(,1,2,)TintTncftedtnTT其中22,nnnnAab阶谐波的振幅在实数形式中为,,nnnnnnnnnaibcaibcAcc由于可知nn即阶谐波的振幅恰好是复振幅c的模.五、傅里叶级数的复数形式2020年2月25日星期二4六、收敛定理的证明1.狄利克雷积分为了研究傅立叶级数的收敛问题,必须把傅立叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积分---狄迪利克雷积分.傅氏级数为上可积和绝对可积，其，）在（设xf01()cossin,2kkkafxakxbkx其中),2,1,0(cos)(1kktdttfak1()sin(1,2),kbftktdtk，2020年2月25日星期二5六、收敛定理的证明傅氏级数的部分和01[()]cossin2nnkkkaSfxakxbkx111[coscossinsin]2nkftktkxktkxdt（）（111[cos]2nkftktxdt（）（））（由三角公式ncos2coscos212sin2nncoscos2102sin,212sin时，有当,2sin2212sinn2020年2月25日星期二6六、收敛定理的证明表达式，得）（再把它用到等式也成立时的极限值，时，把右边理解为当][.00xfSn.2sin2)(212sin)(1)]([dtxtxtntfxfSn的函数，的周期为经验证知，被积函数是2t，因此，可以把积分区间换为][xx21sin()12[()]().2sin2xnxntxSfxftdttx2020年2月25日星期二7六、收敛定理的证明得作代换uxt21sin12[()]().2sin2nnuSfxfxuduu0021sin12[]().2sin2nufxuduu021sin12[()()].2sin2nufxufxuduu2020年2月25日星期二8六、收敛定理的证明[].nSfx以上几种（）的积分表达式都称为狄氏积分00121sin1212cos1222sin2nknudukuduu由于（），[]nSfxs所以（）021sin12[()()2].2sin2nufxufxusduu[]nSfx这样考察（）是否收敛于s的问题就转化为.0的问题上述积分是否收敛于2020年2月25日星期二9六、收敛定理的证明suxfuxfu2）（）（）（若记，否取到适当的点是否收敛，就要看能则傅氏级数在sx成立？）（使02sin2212sin10limduuunun.点就收敛）的傅氏级数在（若此极限等式成立，xxf2.黎曼引理为了讨论上述积分的收敛问题,先介绍黎曼引理.2020年2月25日星期二10黎曼引理:六、收敛定理的证明可积和绝对可积，，）在区间（若函数][baubapbappuduupuduu.0cos)(,0sin)(limlim则有证明(略)利用引理可以证明傅氏级数的一些性质.(1)局部性定理:点收敛和发散，）的傅氏级数在（函数xxf.关点充分邻近区域的值有）在（只与xxf证明:0021sin112[()()][].2sin2nufxufxuduu的积分分成两部分：）（把][xfSn)0(2020年2月25日星期二11六、收敛定理的证明把第二个积分写为,)21sin(2sin2)()(1udunuuxfuxf可积和绝对可积函数积分号内的分式函数是（有界连续）的乘积，与2sin21)()(uuxfuxf.积的因此也是可积和绝对可由黎曼引理知，收敛问题）（，所以时，该积分趋于当][0xfSnn完全决定于第一个积分在n的情况.内的值，，）在（及由于第一个积分中只涉][xxxf.成立又是任意正数，故结论※2020年2月25日星期二12六、收敛定理的证明.在该点的敛散性相同傅立叶级数他点数值如何，它们的取值相同，则无论在其点某邻域）在（）、（个函数由以上说明可知，若两xxgxf(2)性质:即为极限傅氏系数以可积与绝对可积函数的.0,0cos)(1limlimntdttfannn1()sin0,limlimnnnbftntdt(3)性质:为得到收敛的充分条件,应用黎曼引理可以进一步改变要讨论的积分,即证明n→∞时,下面两个积分有相同的收敛性.2020年2月25日星期二13六、收敛定理的证明021sin12()2sin2nuuduu，021sin12()nuuduu，.0212sin)12sin21)((10limudunuuun即1并类似于性质的讨论推知把傅立叶级数收敛问题转化为021sin12[()()].2sin2nunfxufxuduu时，.的收敛情况2020年2月25日星期二14六、收敛定理的证明），（事实上002sin22sin212sin21uuuuuuu），时，规定其值为上有界连续函数（，它是00]0[u以）可积和绝对可积，所（又由于u.12sin21结论也如此，由黎曼引理得）（uuu2020年2月25日星期二15六、收敛定理的证明3.迪尼定理(判别法)及推论点所作的函数）及（，使由函数设能取到适当的xxfs满足条件：suxfuxfu2)()()(可积和绝对可积，）（上，，，使在对某正数uuhh]0[.sxxf点收敛于）的傅立叶级数在（则证明:上，，在可积和绝对可积，所以因为][hf可积和绝对可积，）（）（）（usuxfuxfuu2也如此，由黎曼引理知，由条件在]0[h.][0212sin1limlim0sxfSudunuunnn）（即）（2020年2月25日星期二16六、收敛定理的证明的情况连续和有第一类间断点点通常遇到的函数中，在x）存在，因此（）和（是最一般的，这时00xfxf(0)(0)2fxfxs只讨论这种函数的收敛问题，并常假设.）（连续时，取）在点（特别当xfsxxf2020年2月25日星期二17六、收敛定理的证明.利用迪尼定理可以得到一些收敛的充分条件有以后在取了这样的对于上面所说的点,,sxuxfxfuxfuxfuu)0()0()()()(,)0()()0()(uxfuxfuxfuxf[0,],(),huu若这两项在上可积和绝对可积就满足迪尼定理条件.2)0()0()(xfxfxxf点收敛于的傅立叶级数在从而2020年2月25日星期二18六、收敛定理的证明4.利普希茨定理(判别法):(迪尼定理的推论)条件满足点连续，且对充分小的）在（若Luxxf0)0()()(huLuxfuxf,100且，其中L.）（收敛于）的傅立叶级数在（则xfxxf条件满足小的更一般地，若对于充分Lu0()(0)()fxufxLuLu，同上.fxxf（x+0）+f（x-0）则（）的傅立叶级数在收敛于22020年2月25日星期二19六、收敛定理的证明证明:有界可积，，在）（）（，设]0[01huxfuxf.条件所以满足L,)0()(,11uLuxfuxf设,],0[)0()(,11可积和绝对可积在所以因为huxfuxf.,故结论成立也满足迪尼定理条件推论:数或有两个单侧的有限导点有有限导数在若),()(xfxxf,)()()(lim0uxfuxfxfu0()()(),limufxufxfxu.2)0()0()()(xfxfxfxxf或点收敛于的傅立叶级数在则2020年2月25日星期二20七.傅立叶级数的性质简要介绍傅立叶级数的几个重要性质.(了解)1.一致收敛性)0][][2（，更宽的区间，在比）（的可积和绝对可积函数若周期为aabaxf(1)..][)(）（上一致收敛于，在）的傅立叶级数（，则有有界导数xfbaxfxf(2).)0][][2（，更宽的区间，在比）（的可积和绝对可积函数若周期为aabaxf[].fxabfx则（）的傅立叶连续且为分级数在，上一致收敛于段单调，（函）数2020年2月25日星期二21七.傅立叶级数的性质2.傅立叶级数的逐项积分和逐项求导上的分段连续函数，，）是（若][baxf01()cossin,2nnnafxanxbnx数可以逐项积分，不需任何条件，右端级，则有，，设][xc0001()cossin2xxnnnaftdtxcantbntdt（）（）注意:但一般来说傅立叶级数不能逐项求导2020年2月25日星期二22七.傅立叶级数的性质3.最佳平方平均逼近次三角多项式）是任意一个（设nxTn01()cossin,2nnkkkATxAkxBkx.210）都是常数，，（，，其中kBAAkk,],[)(上可积和平方可积函数是又设xf221(,)(()())2nnfTfxTxdx称()().nTxfx是用三角多项式在平方平均意义下近的偏差逼2020年2月25日星期二23七.傅立叶级数的性质那么选择怎样的三角多项式使偏差最小?的傅立叶级数是设)(xf01()cossin,2nnnafxanxbnx),(xf否收敛或是否收敛于我们不假定右端级数是01()cossin,2nnkkkanSxakxbkx但它次部分和(),()nfxnTx是的最佳平方平均逼近即对任何次三角多项式).,(),(22nnTfSf都有2020年2月25日星期二24小结1.狄利克雷积分2.黎曼引理(1)局部性定理:(2)性质:(3)性质:3.迪尼定理(判别法)及推论4.利普希茨定理(判别法):(迪尼定理的推论)作业:p1279.13